Reelle Funktionen

Eine reelle Funktion \(\displaystyle f\) ist eine Abbildung von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen
\(\displaystyle f: \dom R \rightarrow \dom R\).
Für die Argumente, also die unabhängige Variable, verwendet man in der Regel die Bezeichnung \(\displaystyle x\) und für die Werte \(\displaystyle y\). Man schreibt dann \(\displaystyle y=f(x)\).
Normalerweise wird man für \(\displaystyle f\) einen algebraischen Ausdruck angeben können wie z.B.
\(\displaystyle y=f(x)=\sqrt {e ^{\sin(x)} } +x\).
Eine solche Funktion wird auch elementar genannt.
Allerdings kann die Definition auch komplizierter aussehen, wie das folgende Beispiel zeigt:
(1)
\(\displaystyle y=f(x)= \left\{ \begin{array}{cl} x & {\text{für }x\in \dom Q} \\ {0} & {\text{für } x\in \dom R\setminus \dom Q} \end{array} \right. \)
Diese Funktion bildet alle rationalen Zahlen auf sich selbst ab und alle reellen Zahlen auf \(\displaystyle 0\).
 
 

Beispiele

Graph der Funktion

Zur Veranschaulichung eines funktionalen Zusammenhangs bedient man sich des Graphen der Funktion \(\displaystyle \graph (f)\). Dabei handelt es sich um eine Veranschaulichung der Funktion in der euklidischen Ebene. \(\displaystyle \graph (f)\) umfasst diejenigen Punkte der euklidischen Ebene, deren Koordinaten dem geordneten Paar aus Wert und Funktionswert entspricht. Also:
\(\displaystyle \graph f=\{(x,f(x))\}\)
Diese Methode der Veranschaulichung versagt jedoch bei Funktionen wie (1).

Inhalt

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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