Ableitungsregeln

Satz 5317B (Ableitungsregeln)

Seien \(\displaystyle u,v\) auf einem Intervall \(\displaystyle I=]a,b[\) differenzierbar. Dann gilt für alle \(\displaystyle x\in I\):
  1. Die Differentiation ist linear.
    \(\displaystyle (u+v)'=u'+v'\)
    \(\displaystyle (cu)'=c\cdot f\, '(x)\) für \(\displaystyle c\in \dom R\)
  2. Produktregel
    \(\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv'\)
  3. Quotientenregel
    \(\displaystyle {{\braceNT {\dfrac u v}}}'=\dfrac{u'v-uv\, '} {v^2}\) falls \(\displaystyle v(x)\neq 0\)
    Insbesondere:
    \(\displaystyle {\braceNT {\dfrac 1 v}}'=-\dfrac {v\, '} {v^2}\)
  4. Kettenregel
    \(\displaystyle u(v(x))'=u'(v(x))\cdot v'(x)\)
  5. Umkehrfunktionen
    \(\displaystyle (u^{\uminus 1})'=\dfrac 1 {u'}\)
 
 

Beweis

i. ergibt sich aus den Regeln für den Funktionengrenzwert (Satz 5227L).
ii. \(\displaystyle (u(x_0)v(x_0))'= \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(x)v(x)-u(x_0)v(x_0)}{x-x_0}\) \(\displaystyle = \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(x)v(x)-u(x_0)v(x)+u(x_0)v(x)-u(x_0)v(x_0)}{x-x_0}\) \(\displaystyle = \lim\limits_{x\rightarrow x_0} v(x) \dfrac {u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\lim\limits_{x\rightarrow x_0}u(x_0) \dfrac {v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\) \(\displaystyle = u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)\)
iii. Wir zeigen zuerst den Spezialfall \(\displaystyle {\braceNT {\dfrac 1 v}}'=-\dfrac {v\, '} {v^2}\).
\(\displaystyle {\braceNT {\dfrac 1 v}}'= \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {\dfrac 1 {v(x)} - \dfrac 1 {v(x_0)} } {x-x_0}\) \(\displaystyle = \lim\limits_ {x\rightarrow x_0} \dfrac 1 {v(x)v(x_0)}\cdot \dfrac {{v(x_0)} - {v(x)} } {x-x_0}\) \(\displaystyle =-\dfrac { v\, '} {v^2} \)
Zusammen mit diesem Ergebnis benutzen wir die Produktregel aus ii., um die Quotientenregel herzuleiten: \(\displaystyle {\braceNT {\dfrac u v}}'= {\braceNT{u\cdot \dfrac 1 v}}'\) \(\displaystyle =u'\cdot\dfrac 1 v+u\cdot \braceNT{-\dfrac { v\, '} {v^2}}\) \(\displaystyle =\dfrac{u'v-uv\, '} {v^2}\)
iv. \(\displaystyle u(v(x_0))'=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(v(x))-u(v(x_0))} {x-x_0}\) \(\displaystyle =\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)} \cdot\dfrac {v(x)-v(x_0)} {x-x_0}\) \(\displaystyle =\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)} \cdot\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac {v(x)-v(x_0)} {x-x_0}=u'(v(x_0)) \cdot v'(x_0)\)
v. Sei \(\displaystyle y=u(x)\) und speziell \(\displaystyle y_0=u(x_0)\).
\(\displaystyle (u^{\uminus 1})'(y_0) = \lim\limits_{y\rightarrow y_0} \dfrac {u^{\uminus 1}(y)-u^{\uminus 1}(y_0)} {y-y_0}\) \(\displaystyle = \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u^{\uminus 1}(u(x))-u^{\uminus 1}(u(x_0))} {u(x)-u(x_0)}\) \(\displaystyle =\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {x-x_0} {u(x)-u(x_0)}\) \(\displaystyle = \dfrac 1 {\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac {u(x)-u(x_0)} {x-x_0}}=\dfrac 1 {u'}\) \(\displaystyle \qed\)

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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