Ableitungsregeln

Satz 5317B (Ableitungsregeln)

Seien u,vu,v auf einem Intervall I=]a,b[I=]a,b[ differenzierbar. Dann gilt für alle x∈Ix\in I:
  1. Die Differentiation ist linear.
    (u+v)′=u′+v′(u+v)'=u'+v'
    (cu)′=c⋅f ′(x)(cu)'=c\cdot f\, '(x) für c∈Rc\in \dom R
  2. Produktregel
    (u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)'=u'v+uv'
  3. Quotientenregel
    (uv)′=u′v−uv ′v2{{\braceNT {\dfrac u v}}}'=\dfrac{u'v-uv\, '} {v^2} falls v(x)≠0v(x)\neq 0
    Insbesondere:
    (1v)′=−v ′v2{\braceNT {\dfrac 1 v}}'=-\dfrac {v\, '} {v^2}
  4. Kettenregel
    u(v(x))′=u′(v(x))⋅v′(x)u(v(x))'=u'(v(x))\cdot v'(x)
  5. Umkehrfunktionen
    (u−1)′=1u′(u^{\uminus 1})'=\dfrac 1 {u'}
 
 

Beweis

i. ergibt sich aus den Regeln für den Funktionengrenzwert (Satz 5227L).
ii. (u(x0)v(x0))′=lim⁡x→x0u(x)v(x)−u(x0)v(x0)x−x0(u(x_0)v(x_0))'= \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(x)v(x)-u(x_0)v(x_0)}{x-x_0} =lim⁡x→x0u(x)v(x)−u(x0)v(x)+u(x0)v(x)−u(x0)v(x0)x−x0= \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(x)v(x)-u(x_0)v(x)+u(x_0)v(x)-u(x_0)v(x_0)}{x-x_0} =lim⁡x→x0v(x)u(x)−u(x0)x−x0+lim⁡x→x0u(x0)v(x)−v(x0)x−x0= \lim\limits_{x\rightarrow x_0} v(x) \dfrac {u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\lim\limits_{x\rightarrow x_0}u(x_0) \dfrac {v(x)-v(x_0)}{x-x_0} =u′(x0)v(x0)+u(x0)v′(x0)= u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)
iii. Wir zeigen zuerst den Spezialfall (1v)′=−v ′v2{\braceNT {\dfrac 1 v}}'=-\dfrac {v\, '} {v^2}.
(1v)′=lim⁡x→x01v(x)−1v(x0)x−x0{\braceNT {\dfrac 1 v}}'= \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {\dfrac 1 {v(x)} - \dfrac 1 {v(x_0)} } {x-x_0} =lim⁡x→x01v(x)v(x0)⋅v(x0)−v(x)x−x0= \lim\limits_ {x\rightarrow x_0} \dfrac 1 {v(x)v(x_0)}\cdot \dfrac {{v(x_0)} - {v(x)} } {x-x_0} =−v ′v2=-\dfrac { v\, '} {v^2}
Zusammen mit diesem Ergebnis benutzen wir die Produktregel aus ii., um die Quotientenregel herzuleiten: (uv)′=(u⋅1v)′{\braceNT {\dfrac u v}}'= {\braceNT{u\cdot \dfrac 1 v}}' =u′⋅1v+u⋅(−v ′v2)=u'\cdot\dfrac 1 v+u\cdot \braceNT{-\dfrac { v\, '} {v^2}} =u′v−uv ′v2=\dfrac{u'v-uv\, '} {v^2}
iv. u(v(x0))′=lim⁡x→x0u(v(x))−u(v(x0))x−x0u(v(x_0))'=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(v(x))-u(v(x_0))} {x-x_0} =lim⁡x→x0u(v(x))−u(v(x0))v(x)−v(x0)⋅v(x)−v(x0)x−x0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)} \cdot\dfrac {v(x)-v(x_0)} {x-x_0} =lim⁡x→x0u(v(x))−u(v(x0))v(x)−v(x0)⋅lim⁡x→x0v(x)−v(x0)x−x0=u′(v(x0))⋅v′(x0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)} \cdot\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac {v(x)-v(x_0)} {x-x_0}=u'(v(x_0)) \cdot v'(x_0)
v. Sei y=u(x)y=u(x) und speziell y0=u(x0)y_0=u(x_0).
(u−1)′(y0)=lim⁡y→y0u−1(y)−u−1(y0)y−y0(u^{\uminus 1})'(y_0) = \lim\limits_{y\rightarrow y_0} \dfrac {u^{\uminus 1}(y)-u^{\uminus 1}(y_0)} {y-y_0} =lim⁡x→x0u−1(u(x))−u−1(u(x0))u(x)−u(x0)= \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {u^{\uminus 1}(u(x))-u^{\uminus 1}(u(x_0))} {u(x)-u(x_0)} =lim⁡x→x0x−x0u(x)−u(x0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {x-x_0} {u(x)-u(x_0)} =1lim⁡x→x0u(x)−u(x0)x−x0=1u′= \dfrac 1 {\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac {u(x)-u(x_0)} {x-x_0}}=\dfrac 1 {u'} □\qed

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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