Ableitung der Arkusfunktionen

Satz 5318A

$\dfrac {\d} {\d x} \, \arcsin x=\dfrac 1 {\sqrt{1-x^2}}$ $\dfrac \d {\d x} \, \arccos x=-\dfrac 1 {\sqrt{1-x^2}}$
$\dfrac \d {\d x} \, \arctan x=\dfrac 1 {1+x^2}$ $\dfrac \d {\d x} \, \arccot x=-\dfrac 1 {1+x^2}$

i. Wir benutzen die Regeln für Umkehrfunktionen (Satz 5317B) sowie Satz 5316E und erhalten mit

x=\sin y

\dfrac {\d x}{\d y}=\cos y

also

\dfrac {\d y}{\d x}=\dfrac 1 {\cos y} =\dfrac 1 {\cos\arcsin x}=\dfrac 1 {\sqrt{1-x^2}}

Analog leitet man den Arkuskosinus ab.

ii.

\dfrac \d {\d x} \, \arctan x

= \dfrac \d {\d x} \, \arcsin\dfrac x {\sqrt{ 1+ x^2}}

=\dfrac 1{ \sqrt{1-\dfrac{x^2}{1+x^2}}} \cdot \dfrac {1}{{\sqrt{(1+x^2)^3}}}

=\dfrac {\sqrt{ 1+ x^2}} {\sqrt{(1+x^2)^3}}=\dfrac 1 {1+x^2}

\qed

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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