Ableitung von Polynomen

Satz 5317C

  1. d⁡d⁡x c=0\dfrac \d {\d x}\, c=0 für jede Konstante c∈Rc\in\dom R
  2. d⁡d⁡x x=1\dfrac \d {\d x}\, x=1
    d⁡d⁡x x2=2x\dfrac \d {\d x}\, x^2=2x
  3. d⁡d⁡x xn=n⋅xn−1\dfrac \d {\d x}\, x^n=n\cdot x^{n-1} für n∈Zn\in\dom Z

Beweis

i. d⁡d⁡x c=lim⁡x→x0c−cx−x0=0\dfrac \d {\d x}\, c=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {c-c}{x-x_0}=0
ii. d⁡d⁡x x=lim⁡x→x0x−x0x−x0=1\dfrac \d {\d x}\, x=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \dfrac {x-x_0}{x-x_0}=1
Mit der Produktregel: (x2)′=(x⋅x)′=x+x=2x(x^2)'=(x\cdot x)'= x+x=2x
iii. beweisen wir in zwei Schritten. Für n∈Nn\in \dom N verwenden wir die vollständige Induktion. Der Induktionsanfang findet sich in ii.
Induktionsschritt unter Benutzung der Produktregel: (xn)′=(x⋅xn−1)′(x^n)'=(x\cdot x^{n-1})' =xn−1+x⋅(n−1)xn−2=x^{n-1}+x\cdot(n-1)x^{n-2} =n⋅xn−1=n\cdot x^{n-1}
Für n<0n<0 ergibt sich die Behauptung aus Satz 5317B (Quotientenregel) und dem eben geführten Beweis. □\qed
Damit können wir alle Bausteine von Polynomen ableiten und auf Grund der Summenregel aus Satz 5317B auch ganze Polynome.
 
 

Folgerung (Ableitung von Polynomen)

d⁡d⁡x ∑k=0nakxk=∑k=1nk⋅akxk−1\dfrac \d {\d x} \, {{\sum\limits_{k=0}^n a_k x^k}} =\sum\limits_{k=1}^n k\cdot a_k x^{k-1}

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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