Zusammenhang von Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Es zeigt sich, dass aus der Differenzierbarkeit einer Funktion ihre Stetigkeit folgt, umgekehrt muss jedoch eine stetige Funktion nicht differenzierbar sein.

Satz 15J3 (Stetigkeit differenzierbarer Funktionen)

Wenn eine Funktion \(\displaystyle f\) in \(\displaystyle x_0\) differenzierbar ist, so ist \(\displaystyle f\) dort auch stetig.

Beweis

Nach Satz 15VC gilt:
\(\displaystyle f(x)=f(x_0)+f\, '(x_0)\cdot(x-x_0)+R(x)\cdot(x-x_0)\)
mit \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}R(x)=0\).
Dann ist
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\) \(\displaystyle =\lim_{x\rightarrow x_0}\braceNT{f(x_0)+f\, '(x_0)\cdot(x-x_0)+R(x)\cdot(x-x_0)}=f(x_0)\),
und nach Satz 5225F ist \(\displaystyle f\) an der Stelle \(\displaystyle x_0\) stetig. \(\displaystyle \qed\)
Die Umkehrung von Satz 15J3 muss nicht gelten, wie die folgenden Beispiele verdeutlichen.
 
 

Beispiele für stetige, nicht differenzierbare Funktionen

Beispiel 166A (Betragsfunktion)

Die Betragsfunktion ist an der Stelle \(\displaystyle x_0=0\) stetig, aber nicht differenzierbar. Der Differenzenquotient hat die Form:
\(\displaystyle \dfrac {\Delta y}{\Delta x}=\dfrac { f(x)-f(x_0)} {x-x_0}= \dfrac {|x|} x\).
Er nimmt für \(\displaystyle x>0\) den Wert 1 und für \(\displaystyle x<0\) den Wert -1 an. Damit kann sein Grenzwert für \(\displaystyle x\rightarrow 0\) nicht existieren und die Funktion ist an dieser Stelle nicht ableitbar.
Noch unübersichtlicher ist die Situation in folgendem Beispiel.
xsin1durchx.png
In Beispiel 15J5 hatten wir gezeigt, dass
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cdot \sin\dfrac 1 x=0\)
gilt. Wenn man nun eine Funktion mit \(\displaystyle f(0)=0\) und \(\displaystyle f(x)=x\cdot \sin\dfrac 1 x\) für \(\displaystyle x\neq0\) definiert, so ist diese an der Stelle \(\displaystyle x_0=0\) sicher stetig (Funktionsgrenzwert stimmt mit Funktionswert überein!) Für den Differenzenquotienten gilt:
\(\displaystyle \dfrac {f(0+h)-f(0)} h =\dfrac {f(h)} h= \sin\dfrac 1 h\)
Dieser Ausdruck hat für \(\displaystyle h\rightarrow 0\) keinen Grenzwert sondern oszilliert heftigst.
Die Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion ist nicht damit zu verwechseln, dass die Ableitung als Funktion betrachtet stetig ist. Dies muss nicht notwendigerweise der Fall sein.
Wir betrachten die durch \(\displaystyle f(0)=0\) und \(\displaystyle f(x)=x^2\cdot \sin\dfrac 1 x\) für \(\displaystyle x\neq0\) definierte Funktion.
\(\displaystyle f\) ist differenzierbar. Für \(\displaystyle x\neq 0\) können wir ihre Ableitung nach den bekannten Regeln mit
\(\displaystyle f\, '(x)=2 x\cdot\sin\dfrac 1 x -\cos\dfrac 1 x\)
berechnen.
Für \(\displaystyle x=0\) müssen wir zur Definition der Ableitung greifen:
\(\displaystyle f\, '(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac {f(0+h)-f(0)} h\) \(\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac {h^2\sin\dfrac 1 h} h\) \(\displaystyle =\lim_{h\rightarrow 0}h\cdot\sin\dfrac 1 h=0\) (siehe Beispiel 15J5)
Damit existiert die Ableitung auch für \(\displaystyle x=0\). Die Funktion \(\displaystyle f\, '(x)\) strebt für \(\displaystyle x\rightarrow 0\) jedoch gegen keine Grenzwert, da dies am Term \(\displaystyle \cos\dfrac 1 x\) scheitert.
Damit ist die Ableitung für \(\displaystyle x=0\) unstetig.

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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