Lokale Extrema

Eine Funktion $f$ hat in $x_0$ ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung $U$ um $x_0$ gibt, für die gilt, dass $f(x_0)>f(x)$ für alle $x\in U\setminus \{x_0\}$:

Eine Funktion $f$ hat in $x_0$ ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung $U$ um $x_0$ gibt, für die gilt, dass $f(x_0)<f(x)$ für alle $x\in U\setminus \{x_0\}$:

Allgemein spricht man von einem lokalen Extremum.

Hat die Funktion $f$ ein lokales Extremum in $x_0$, dann verschwindet ihre erste Ableitung dort, also $f\, '(x_0)=0$.

Wenn $f$ an der Stelle $x_0$ zweimal differenzierbar ist und $f\, '(x_0)=0$ und außerdem $f\, ''(x_0)<0$ ($f\, ''(x_0)>0$), dann hat $f$ an der Stelle $x_0$ ein lokales Maximum (lokales Minimum).

Sei $f\, ''(x_0)<0$, nach Satz 15VD gibt es dann ein $\epsilon>0$, so dass für alle $|x-x_0|<\epsilon$

gilt. Da nach Voraussetzung $f\, '(x_0)=0$ ist, gilt also:

Für $x<x_0$ ist dann $f\, '(x)>0$ und die Funktion ist nach Satz 15VF streng monoton wachsend, analog gilt $f\, '(x)<0$ für $x>x_0$ und die Funktion ist streng monoton fallend. Schreibt man die Bedingungen für die Monotonie nun explizit auf und vergleicht sie mit der Definition des lokalen Maximums, sieht man, dass diese erfüllt ist. $f$ hat also an der Stelle $x_0$ ein lokales Maximum.

Fürs lokale Minimum schließt man analog. $\qed$