Höhere Ableitungen

Ist die Ableitung f ′(x)f\, '(x) einer Funktion f(x)f(x) als Funktion betrachtet differenzierbar, so ist (f ′(x)′)(f\, '(x)') die zweite Ableitung, man schreibt dafür auch f ′′(x)f\, ''(x) oder d⁡2fd⁡x2(x)\dfrac {\d^2 f}{\d x^2} (x).
Unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der Ableitungsfunktionen kann man sukzessive höhere Ableitungen definieren. Die n-te Ableitung ist dann rekursiv als Ableitung der n−1n-1-ten Ableitung definiert. Man schreibt dafür:
f(n)(x)=d⁡nfd⁡xn(x)f^{(n)}(x)= \dfrac {\d^n f}{\d x^n} (x)
Beweise zur n-ten Ableitung werden mittels vollständiger Induktion geführt.
 
 

Beispiel

Wir wollen die n-te Ableitung von f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x bestimmen. Die erste Ableitung ist f ′(x)=1xf\, '(x)=\dfrac 1 x (Satz 5318D).
Die zweite Ableitung (siehe Satz 5317C) ist f ′′(x)=−1x2f\, ''(x)=-\dfrac 1 {x^2} und die Dritte: f ′′′(x)=21x3f\, '''(x)=2\dfrac 1 {x^3}.
Wir vermuten: f (n)(x)=(−1)n−1(n−1)!⋅1xnf^{\, (n)}(x)=(\me)^{n-1}(n-1)!\cdot\dfrac 1 {x^n}.
Für n=1n=1 ist die Behauptung klar.
Sei die Behauptung jetzt für nn richtig, dann wollen wir zeigen, dass
f (n+1)(x)=(−1)nn!⋅1xn+1f^{\, (n+1)}(x)=(\me)^{n}n!\cdot\dfrac 1 {x^{n+1}}
Es gilt: f (n+1)(x)=(f (n)(x))′f^{\, (n+1)}(x)={\braceNT{f^{\, (n)}(x)}}'
=((−1)n−1(n−1)!⋅1xn)′={\braceNT{(\me)^{n-1}(n-1)!\cdot\dfrac 1 {x^n}}}' (nach Induktionsvoraussetzung)
=(−1)n−1(n−1)!⋅(−n)1xn+1=(−1)nn!⋅1xn+1=(\me)^{n-1}(n-1)!\cdot (\uminus n)\dfrac 1 {x^{n+1}}=(\me)^{n}n!\cdot\dfrac 1 {x^{n+1}}

Leibnitzsche Produktformel

Die Verallgemeinerung der Kettenregel kann man in Anlehnung an den binomischen Satz unter Zuhilfenahme des Binomialkoeffizienten schreiben. f,g:D→Rf,g:D\rightarrow\R sind nn -mal differenzierbar. Dann ist
(f∘g)(n)=∑k=0n(nk) f (k)(x)g(n−k)(x)(f\circ g)^{(n)} =\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}\, f^{\, (k)}(x)g^{(n-k)}(x)
mit f (0):=ff^{\, (0)}:=f. Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt.

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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