Höhere Ableitungen

Ist die Ableitung \(\displaystyle f\, '(x)\) einer Funktion \(\displaystyle f(x)\) als Funktion betrachtet differenzierbar, so ist \(\displaystyle (f\, '(x)')\) die zweite Ableitung, man schreibt dafür auch \(\displaystyle f\, (x)\) oder \(\displaystyle \dfrac {\d^2 f}{\d x^2} (x)\).
Unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit der Ableitungsfunktionen kann man sukzessive höhere Ableitungen definieren. Die n-te Ableitung ist dann rekursiv als Ableitung der \(\displaystyle n-1\)-ten Ableitung definiert. Man schreibt dafür:
\(\displaystyle f^{(n)}(x)= \dfrac {\d^n f}{\d x^n} (x)\)
Beweise zur n-ten Ableitung werden mittels vollständiger Induktion geführt.
 
 

Beispiel

Wir wollen die n-te Ableitung von \(\displaystyle f(x)=\ln x\) bestimmen. Die erste Ableitung ist \(\displaystyle f\, '(x)=\dfrac 1 x\) (Satz 5318D).
Die zweite Ableitung (siehe Satz 5317C) ist \(\displaystyle f\, (x)=-\dfrac 1 {x^2}\) und die Dritte: \(\displaystyle f\, (x)=2\dfrac 1 {x^3}\).
Wir vermuten: \(\displaystyle f^{\, (n)}(x)=(\me)^{n-1}(n-1)!\cdot\dfrac 1 {x^n}\).
Für \(\displaystyle n=1\) ist die Behauptung klar.
Sei die Behauptung jetzt für \(\displaystyle n\) richtig, dann wollen wir zeigen, dass
\(\displaystyle f^{\, (n+1)}(x)=(\me)^{n}n!\cdot\dfrac 1 {x^{n+1}}\)
Es gilt: \(\displaystyle f^{\, (n+1)}(x)={\braceNT{f^{\, (n)}(x)}}'\)
\(\displaystyle ={\braceNT{(\me)^{n-1}(n-1)!\cdot\dfrac 1 {x^n}}}'\) (nach Induktionsvoraussetzung)
\(\displaystyle =(\me)^{n-1}(n-1)!\cdot (\uminus n)\dfrac 1 {x^{n+1}}=(\me)^{n}n!\cdot\dfrac 1 {x^{n+1}}\)

Leibnitzsche Produktformel

Die Verallgemeinerung der Kettenregel kann man in Anlehnung an den binomischen Satz unter Zuhilfenahme des Binomialkoeffizienten schreiben.\(\displaystyle f,g:D\rightarrow\R\) sind \(\displaystyle n\) -mal differenzierbar. Dann ist
\(\displaystyle (f\circ g)^{(n)} =\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}\, f^{\, (k)}(x)g^{(n-k)}(x)\)
mit \(\displaystyle f^{\, (0)}:=f\). Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt.

Jede mathematische Formel in einem Buch halbiert die Verkaufszahl dieses Buches.

Stephen Hawking

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе