Implizite Funktionen

Nicht immer ist es möglich eine reelle Funktion mittels einer expliziten Zuordnungsvorschrift $y=f(x)$ anzugeben. Ist eine Funktion durch eine Gleichung der Form $F(x,y(x))=0$ gegeben, so spricht man von einer impliziten Funktion.

Ein Kreis mit Radius 1 in der Ebene wird durch die Menge aller Zahlen x und y beschrieben, die

erfüllen. Diese Form definiert eine implizite Funktion im obigen Sinne.

Die Gleichung (1) kann man nach y auflösen, und man erhält

Die letzte Form ist jetzt eine explizite Definition ($y(x) = \, \, \,$).

Dieses Beispiel zeigt die Probleme der impliziten Definition: Es ist nicht immer möglich, die Gleichung aufzulösen, bzw. die Auflösung ist nicht eindeutig.

Um eine implizite Funktion zu differenzieren benutzen wir die verallgemeinerte Kettenregel. Danach gilt:

dabei sind $F_x$ und $F_y$ die partiellen Ableitungen. Für $F_y(x,y)\neq 0$ können wir (2) nach $y'$ auflösen und wir erhalten:

Wenden wir Formel auf (1) an, ergibt sich

Bilden wir die Ableitung der expliziten Gleichung $y(x) = \pm \sqrt{1 - x^2}$, so erhalten wir $y'(x)=\dfrac {-x} {\pm \sqrt{1 - x^2}}$, was natürlich das Gleiche ist wir die Ableitung der impliziten Form.

Die Gleichung $y'=-\dfrac x y$ ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, lösen wir diese (Beispiel 166V) erhalten wir wie nicht anders zu erwarten konzentrische Kreise um den Ursprung.