Implizite Funktionen

Nicht immer ist es möglich eine reelle Funktion mittels einer expliziten Zuordnungsvorschrift \(\displaystyle y=f(x)\) anzugeben. Ist eine Funktion durch eine Gleichung der Form \(\displaystyle F(x,y(x))=0\) gegeben, so spricht man von einer impliziten Funktion.

Beispiel

Ein Kreis mit Radius 1 in der Ebene wird durch die Menge aller Zahlen x und y beschrieben, die
(1)
\(\displaystyle x^2 + y^2 - 1 = 0 \)
erfüllen. Diese Form definiert eine implizite Funktion im obigen Sinne.
Die Gleichung (1) kann man nach y auflösen, und man erhält
\(\displaystyle y(x) = \pm \sqrt{1 - x^2} \).
Die letzte Form ist jetzt eine explizite Definition (\(\displaystyle y(x) = \, \, \, \)).
Dieses Beispiel zeigt die Probleme der impliziten Definition: Es ist nicht immer möglich, die Gleichung aufzulösen, bzw. die Auflösung ist nicht eindeutig.
 
 

Ableitung

Um eine implizite Funktion zu differenzieren benutzen wir die verallgemeinerte Kettenregel. Danach gilt:
(2)
\(\displaystyle F_x(x,y)\cdot x'+F_y(x,y)y'\) \(\displaystyle =F_x(x,y)+F_y(x,y)y'(x)\),
dabei sind \(\displaystyle F_x\) und \(\displaystyle F_y\) die partiellen Ableitungen. Für \(\displaystyle F_y(x,y)\neq 0\) können wir (2) nach \(\displaystyle y'\) auflösen und wir erhalten:
(3)
\(\displaystyle y'(x)=-\dfrac {F_x(x,y)} {F_y(x,y)}\)

Beispiel

Wenden wir Formel auf (1) an, ergibt sich
\(\displaystyle y'(x)=-\dfrac {F_x(x,y)} {F_y(x,y)}\) \(\displaystyle =-\dfrac {2x} {2y}=-\dfrac x y\) \(\displaystyle =\dfrac {-x} {\pm \sqrt{1 - x^2}}\)
Bilden wir die Ableitung der expliziten Gleichung \(\displaystyle y(x) = \pm \sqrt{1 - x^2} \), so erhalten wir \(\displaystyle y'(x)=\dfrac {-x} {\pm \sqrt{1 - x^2}}\), was natürlich das Gleiche ist wir die Ableitung der impliziten Form.
Die Gleichung \(\displaystyle y'=-\dfrac x y\) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung, lösen wir diese (Beispiel 166V) erhalten wir wie nicht anders zu erwarten konzentrische Kreise um den Ursprung.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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