Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (oft abgekürzt mit ODE, englisch ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung (DGL), die Ableitungen nach genau einer reellen Variablen enthält und somit durch Funktionen gelöst werden kann, die ebenfalls von genau einer Variablen abhängen.

Allgemeine Definition

Die Ordnung der Differentialgleichung n ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben.
Es seien Ω⊆R×Cn+1\Omega \subseteq \mathbb{R} \times {\mathbb{C}}^{n+1} mit n∈Nn \in \mathbb{N} und f:Ω→Cf: \Omega \rightarrow \mathbb{C}, dann heißt:
f(x, y(x), y′(x), y′′(x),…, y(n)(x))=0f(x,\, y(x),\, y'(x),\, y''(x),\dots,\, y^{(n)}(x))=0
bzw.
f(x, y, y′, y′′,…, y(n))=0f(x,\, y,\, y',\, y'',\dots,\, y^{(n)})=0
eine gewöhnliche Differentialgleichung nn-ter Ordnung.
Ihre Lösungen sind nn-mal differenzierbare Funktionen, die von einer Variablen abhängen und die DGL auf einem zu bestimmenden Intervall I erfüllen.
Kann die Differentialgleichung nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst werden und hat somit die Form:
y(n)=f(x, y, y′, y′′,…, y(n−1))y^{(n)} = f(x,\, y,\, y',\, y'',\dots,\, y^{(n-1)})
so heißt sie explizit, andernfalls implizit. (siehe: Satz von der impliziten Funktion)
 
 

Klassifikation und Lösung

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion (oder im Falle eines Systems von Differentialgleichungen mehrere Funktionen). Es ist jedoch nicht jede Differentialgleichung lösbar. Es gibt allerdings einige Kriterien, anhand derer man Lösbarkeit erkennen kann. Ferner reicht die Differentialgleichung allein im Allgemeinen nicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen. Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung nn-ter Ordnung hat im Allgemeinen nn freie Parameter. Die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung von nn Unbekannten enthält im Allgemeinen eine frei wählbare (aber hinreichend oft differenzierbare) Funktion von n−1n-1 Variablen, die selbst Funktionen der nn Unbekannten sind (diese Funktionen sind aber natürlich nicht frei wählbar sondern werden durch die Lösung bestimmt).
Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch eine Differentialgleichung beschrieben (siehe: Pendelgleichung), und der generelle Bewegungsablauf folgt immer dem gleichen Prinzip. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie weit) bestimmt. Die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf beschrieben.
Nur wenige Typen von gewöhnlichen Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen.
Die Menge aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung bildet ein dynamisches System, auch Fluss der Differentialgleichung genannt.

Literatur

  • M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
  • B. Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3519322277
  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000, ISBN 3540676422

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Gewöhnliche Differentialgleichung aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Analysis