Differentialgeometrie

Die Differentialgeometrie stellt die Synthese von Analysis und Geometrie dar.

Die elementare Differentialgeometrie beschäftigt sich mit Kurven und Flächen im dreidimensionalen Anschauungsraum und ihren Krümmungseigenschaften. Zu den klassischen Studienobjekten gehören beispielsweise die Minimalflächen, die in der Natur als Formen von Seifenhäuten entstehen.

Die abstrakte Differentialgeometrie entsteht aus der intrinsischen Beschreibung geometrischer Objekte, d.h. der Beschreibung ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Der zentrale Begriff ist der der differenzierbaren Mannigfaltigkeit: eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt (genauer: ein topologischer Raum), der lokal in etwa aussieht wie der $n$-dimensionale reelle Raum. Das klassische Beispiel, das auch die Terminologie motiviert, ist die Erdoberfläche: In kleinen Ausschnitten lässt sie sich durch Karten beschreiben, d.h. kleine Teile "sehen aus wie" die Ebene. Um aber ein Gesamtbild der Erde zu erhalten, müssen noch die Kartenwechsel beschrieben sein: welche Teile zweier Karten entsprechen sich? Das Attribut differenzierbar bezieht sich nun darauf, dass diese Kartenwechsel differenzierbare Abbildungen sein sollen. Das ermöglicht es, von differenzierbaren Funktionen auf der Mannigfaltigkeit zu sprechen, und die Analysis wird gewissermaßen zur lokalen Theorie, deren globale Entsprechung die Differentialgeometrie ist.

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es keine vordefinierte Längenmessung. Ist sie als zusätzliche Struktur gegeben, spricht man von riemannschen Mannigfaltigkeiten. Sie sind Gegenstand der riemannschen Geometrie, die auch die sich aus dieser Struktur ergebenden Begriffe der Krümmung, der kovarianten Ableitung und der Parallelverschiebung untersucht.

Die Differentialtopologie benutzt Mittel der Differentialgeometrie und der Topologie zum Studium topologischer Eigenschaften der betrachteten Mannigfaltigkeiten.

Anwendung findet die klassische Differentialgeometrie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Sie ermöglicht die Voraussage von Phänomenen, die durch das Experiment bestätigt werden (Lichtablenkung, Periheldrehung des Merkur).

Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie Wechsel von Bezugssystemen, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht unterschiedlichen Sichtweisen auf ein Ereignis.

Die klassische Differentialgeometrie wurde auch schon früher in der Geodäsie und Kartographie angewendet. Beispiel ist hier unter anderem die Kartenprojektionslehre, aus der die Begriffe geodätische Linie und gaußsche Krümmung stammen.