Analytische Geometrie der Ebene

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Einen Punkt \(\displaystyle A\) der euklidischen Ebene \(\displaystyle \dom {R ^2}\) kann man als Ortsvektor \(\displaystyle a\) auffassen, der durch eine \(\displaystyle x\)- und eine \(\displaystyle y\)-Koordinate charakterisiert ist. Man schreibt dann \(\displaystyle A(a_x;\, a_y)\) oder \(\displaystyle A(a_x|a_y)\).
Der Vektor wird häufig in Spaltenschreibweise als:
\(\displaystyle a=\pmatrix { a_x\\ a_y}\)
angegeben.
Der Abstand \(\displaystyle d\) des Punktes \(\displaystyle A\) vom Ursprung entspricht genau der Norm des Vektors \(\displaystyle a\) (Schreibweise: \(\displaystyle ||a||\)) und wird mit der üblichen euklidischen Metrik ermittelt, die elementargeometrisch dem Satz des Pythagoras entspricht:
\(\displaystyle d=||a||=\sqrt {a_x^2+a_y^2}\)
Für zwei Punkte \(\displaystyle A(a_x|a_y)\) und \(\displaystyle B(b_x|b_y)\) ergibt sich dem Abstand \(\displaystyle d\) voneinander mit:
\(\displaystyle d=||a-b||=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2 }\),
was genau der Norm der Differenz entspricht.
 
 

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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