Normierte Räume und Banachräume

Ein Vektorraum \(\displaystyle V\) über den reellen Zahlen \(\displaystyle \dom R\) (oder den komplexen Zahlen \(\displaystyle \C\)) heißt ein normierter Vektorraum oder kürzer normierter Raum, wenn es eine Abbildung \(\displaystyle ||\cdot||:V\rightarrow \dom R\) gibt, welche die folgenden Eigenschaften besitzt:
  1. \(\displaystyle ||a||>0\) für alle \(\displaystyle a\neq 0\)
  2. \(\displaystyle ||\lambda a||=|\lambda| \, ||a||\) für alle \(\displaystyle \lambda\in\dom R\) und \(\displaystyle a\in V\) (Homogenität)
  3. \(\displaystyle ||a+b||\leq ||a||+||b||\) für alle \(\displaystyle a,b\in V\)
Diese Abbildung wird Norm genannt. Man benutzt die Doppelstriche \(\displaystyle ||\cdot||\) um die Norm vom Absolutbetrag der reellen Zahlen zu unterscheiden.
Eigenschaft iii. ist die allseits bekannte Dreiecksungleichung in vektorieller Form.
 
 

Satz 5310D (Eigenschaften normierter Vektorräume)

Sei \(\displaystyle V\) ein normierter Vektorraum mit der Norm \(\displaystyle ||\cdot||\) und \(\displaystyle a\in V\). Dann gilt:
  1. \(\displaystyle ||0||=0\)
  2. \(\displaystyle ||\uminus a||=||a||\)
Zusammen mit der obigen Definition bedeutet (i): \(\displaystyle ||x||=0:\Leftrightarrow x=0\).

Beweis

i. erhält man sofort aus \(\displaystyle ||0||=||2\cdot 0||=2\cdot||0||\).
ii. ist ebenso einfach \(\displaystyle ||\uminus a||=||\uminus 1\cdot a||=|\uminus 1|\cdot ||a||= ||a||\) \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung

Durch den Ansatz \(\displaystyle d(x,y):=||x-y||\) wird auf \(\displaystyle V\) eine Metrik erklärt. Damit ist \(\displaystyle V\) insbesondere ein metrischer Raum. Begriffe, wie konvergente Folge, Cauchyfolge, offene Mengen und abgeschlossene Mengen etc. gelten auch für normierte Räume.

Definition Banachraum

Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum (benannt nach dem Mathematiker Stefan Banach).

Beispiele

Reelle Zahlen

\(\displaystyle (\R,|\cdot|)\) ist der normierte Raum der reellen Zahlen mit der Betragsfunktion (siehe Satz 5221C).
\(\displaystyle \R^n\) mit der p-Norm \(\displaystyle (\R^n,||\cdot||_p)\)
\(\displaystyle ||x||_p= \left(\sum\limits_{i=1}^n |\xi_i|^p\right)^{\dfrac{1}{p}}\) für \(\displaystyle 1\leq p<\infty\),
wobei \(\displaystyle x=(\xi_1,\dots,\xi_n)\).
Diese Norm geht für \(\displaystyle p\to\infty\) in die die Maximumnorm \(\displaystyle ||x||_\infty=\max_{1\leq i \leq n} |\xi_i|\) über.
Weitere Spezialfälle der p-Norm sind
\(\displaystyle ||x||_1 = \sum\limits_{i=1}^n |\xi_i|\) die Summennorm und
\(\displaystyle ||x||_2= \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n |\xi_i|^2}\) die euklidische Norm.
Der Beweis der Normeigenschaften ist einfach zu führen; die Dreiecksungleichung entspricht der Minkowskischen Ungleichung. Der \(\displaystyle \Rn\) mit einer beliebigen Norm ist vollständig, also ein Banachraum (vgl. hierzu Satz 16KC).

Stetige Funktionen

Sei \(\displaystyle C([a,b])\) die Menge aller stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall \(\displaystyle [a,b]\). Mit \(\displaystyle \ntxbraceII{f} := \sup_{x\in[a,b]}\ntxbraceI{f(x)}=\max_{x\in[a,b]}\ntxbraceI{f(x)} \) definieren wir eine Norm (Rechtfertigung vgl. Satz 15FV). Dieser Raum ist ein Banachraum (siehe Satz 16K8).

Polynome

Der Funktionenraum der Polynome \(\displaystyle \mathcal{P} := \{ p\colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\colon p \text{ ist Polynom}\} \subset C([a,b])\) mit der Norm \(\displaystyle \ntxbraceII{p}_{\infty} = \max\limits_{x\in [a,b]} \ntxbraceI{p(x)}\) ist nicht vollständig.

Beweis

Wir wissen \(\displaystyle e^{x}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^{k}}{k!}\) ist gleichmäßig konvergent auf \(\displaystyle [a,b]\). Daraus folgt, die Folge \(\displaystyle (p_{n})_{n}\) mit \(\displaystyle p_{n}(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}}{k!} \in \mathcal{P}\) ist eine Cauchyfolge bezüglich \(\displaystyle \ntxbraceII{\cdot}_{\infty}\) ist.Angenommen \(\displaystyle \exists p\in \mathcal{P}\) mit \(\displaystyle \ntxbraceII{p_{n}-p} \rightarrow 0 \) \(\displaystyle \Rightarrow |{p(x) - e^{x}}| \)\(\displaystyle \leq \ntxbraceII{p(x) - p_{n}(x)}_{\infty}+\ntxbraceII{p_{n}(x)-e^{x}}_{\infty} \xrightarrow{n\rightarrow\infty} 0 \).Damit ist \(\displaystyle p(x) = e^{x}\), was ein Widerspruch zu unserer Annahme steht, da die Exponentialfunktion kein Polynom ist \(\displaystyle e^{x}\notin\mathcal{P}\).

Beispiel

Der Raum \(\displaystyle C([0,1])\) mit der Norm \(\displaystyle \ntxbraceII{f}_{1} = \int\limits_{0}^{1} \ntxbraceI{f(t)} \, dt\) ist nicht vollständig.

Beweis

int.png
Für \(\displaystyle m \geq 2\) definieren wir \(\displaystyle f_{m}(t) := \begin{cases} 0 & 0\leq t < \dfrac12\\ m(t-\dfrac12) & \dfrac12 \leq t < \dfrac12+\dfrac1m =: a_{m}\\ 1 & a_{m} \leq t \leq 1 \end{cases} \).
Es ist \(\displaystyle ||f_m||_1\) \(\displaystyle =\int\limits_0^1|f_m(t)|d t\) \(\displaystyle =\int\limits_0^\dfrac 12 0 dt+\int\limits_\dfrac 12^{\dfrac 1m +\dfrac 12}m(t-\dfrac12)dt+\int\limits_{\dfrac 1m +\dfrac 12}^1 1dt\) \(\displaystyle =m \left[\dfrac 12t(t-1)\right]_\dfrac 12^{\dfrac 1m +\dfrac 12}+\dfrac 12-\dfrac 1m\) \(\displaystyle =\dfrac 12-\dfrac 12\dfrac 1m\). Sei \(\displaystyle n > m\) \(\displaystyle \Rightarrow\) \(\displaystyle \ntxbraceII{f_{n}-f_{m}}_{1}\) \(\displaystyle =\dfrac 12\left(\dfrac 1m-\dfrac 1n \right)\) \(\displaystyle \leq \dfrac1m \rightarrow 0\) \(\displaystyle \Rightarrow\) \(\displaystyle (f_{n})_{n}\) ist Cauchyfolge.Annahme: Es existiert ein \(\displaystyle f\in C([0,1])\) mit \(\displaystyle \ntxbraceII{f_{n}-f}_{1} \rightarrow 0\). Dann ist \(\displaystyle \ntxbraceII{f_{n}-f}_{1} = \int\limits_{0}^{\dfrac12}\ntxbraceI{f(t)} \, dt+ \int\limits_{\dfrac12}^{a_{m}}\ntxbraceI{f_{n}(t)-f(t)} \, dt + \int\limits_{a_{m}}^{1}\ntxbraceI{1-f(t)} \, dt \) Für \(\displaystyle n\rightarrow \infty\) geht \(\displaystyle a_{m} \rightarrow \dfrac12\) und damit gilt: \(\displaystyle \int\limits_{0}^{\dfrac12}\ntxbraceI{f(t)} \, dt = 0\quad\text{und}\quad \int\limits_{\dfrac12}^{1}\ntxbraceI{1-f(t)} \, dt = 0 \). Die Funktion \(\displaystyle f\) muss also die Gestalt \(\displaystyle f(t) = \begin{cases} 0 & \colon0 < t \leq \dfrac12\\ 1 & \colon\dfrac12 < t \leq 1 \end{cases} \) haben, was einen Widerspruch zu der Annahme \(\displaystyle f\) sei stetig darstellt.

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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