Cauchy-Folgen

Eine Folge $(x_n)$ eines metrischen Raums ($M$,$d$) ist eine Cauchy-Folge, (andere Schreibweise: Cauchyfolge), wenn gilt:

Eine Cauchy-Folge ist also eine Folge, deren Elemente mit zunehmenden Index immer weiter zusammenrücken.

Es gilt:

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Sei $(x_n)$ konvergent gegen $x\in M$. Mit der Dreiecksungleichung gilt:

Die beiden rechten Seiten lassen sich wegen der Konvergenz von $(x_n)$ mit zunehmenden $m,n$ unter ein beliebiges $\epsilon$ drücken. Damit auch die linke Seite. $\qed$

Die Umkehrung von Satz 5608F muss im Allgemeinen nicht gelten und Gegenbeispiele lassen sich schnell finden.

Man betrachte die rationalen Zahlen $\dom Q$ mit der auf dem Absolutbetrag beruhenden Metrik. Dann nehme man eine gegen $\sqrt 2$ konvertierende Folge, die nur aus rationalen Zahlen besteht. Diese ist eine Cauchy-Folge. Da aber $\sqrt 2$ keine rationale Zahl ist, konvergiert sie jedoch nicht in $\dom Q$ (in $\dom R$ würde sie selbstverständlich konvergieren).