Absolutbetrag und Signum

Wir definieren den Absolutbetrag oder kurz Betrag ∣a∣|a| einer reellen Zahl aa wie folgt:
∣a∣={aa≥0−a  a<0|a|=\ntxbraceKO{ \array {{a}& {a\geq 0}\\ {\uminus a\, \, }& {a\lt 0}} }
Das Signum sgn⁡:R→{−1; 0; 1}\sgn:\R\to \{\me;\, 0;\, 1\} ordnet jeder reellen Zahl quasi ihr Vorzeichen zu.
sgn⁡a={1a>00a=0−1 a<0\sgn a=\ntxbraceKO{ \array {{1}& {a\gt 0}\\ {0}& {a= 0} \\ {\me \, }& {a\lt 0} }}.
Man sieht leicht, dass ∣a∣=a⋅sgn⁡a|a|=a\cdot \sgn a gilt.

Satz 5221C (Eigenschaften des Absolutbetrags)

Für alle a,b∈Ra,b\in \dom R gilt:
  1. ∣a∣≥0|a|\geq 0, ∣a∣=∣−a∣|a| =|\uminus a|
    −∣a∣≤a≤∣a∣-|a|\leq a\leq|a|
  2. ∣a∣=0    ⟺    a=0|a|=0\;\iff\; a=0
  3. ∣ab∣=∣a∣∣b∣|ab|=|a||b| sowie ∣1a∣=1∣a∣\ntxbraceI{\dfrac 1 a}=\dfrac 1{|a|} für a≠0a\neq 0
  4. ∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣|a+b|\leq|a|+|b| (Dreiecksungleichung)
  5. ∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣||a|-|b||\leq |a-b|

Beweis

(i)-(iii) Ergeben sich unmittelbar aus der Definition bzw. durch Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von aa und bb.
(iv) 1. Fall: a,b≥0a,b\geq 0. Dann gilt: ∣a+b∣=a+b=∣a∣+∣b∣|a+b|=a+b=|a|+|b|
2. Fall: a,b<0a,b<0. Dann gilt ∣a+b∣=−(a+b)=(−a)+(−b)=∣a∣+∣b∣|a+b|=-(a+b)=(-a)+(-b)=|a|+|b|
3. Fall: a≥0a\geq 0 und b<0b<0. Dann gilt: ∣a∣+∣b∣=a−b|a|+|b|=a-b
3.1 Unterfall: a≥−ba\geq -b. Dann ist a+b≥0a+b\geq 0 und somit ∣a+b∣=a+b|a+b|=a+b. Wegen b<0b<0 gilt b<−bb<-b und auch a+b<a−ba+b<a-b.
3.2 Unterfall: a<−ba<-b. Dann ist a+b<0a+b<0 und somit ∣a+b∣=−(a+b)=−a−b|a+b|=-(a+b)=-a-b. Wegen a≥0a\geq 0 gilt −a<a-a<a und auch −a−b≤a−b-a-b\leq a-b.
4. Fall: a<0a<0 und b≥0b\geq 0 beweist man analog zum 3. Fall. Man braucht lediglich aa und bb zu vertauschen.
(v) 1. Fall: ∣a∣≥∣b∣|a|\geq |b|, dann gilt ∣∣a∣−∣b∣∣=∣a∣−∣b∣||a|-|b||=|a|-|b| =∣(a−b)+b∣−∣b∣=|(a-b)+b|-|b| ≤∣a−b∣+∣b∣−∣b∣=∣a−b∣\leq |a-b|+|b|-|b|=|a-b|
2. Fall: ∣a∣<∣b∣|a|<|b|, dann gilt ∣∣a∣−∣b∣∣=∣b∣−∣a∣||a|-|b||=|b|-|a| =∣(b−a)+a∣−∣a∣=|(b-a)+a|-|a| ≤∣b−a∣+∣a∣−∣a∣=∣a−b∣\leq |b-a|+|a|-|a|=|a-b| □\qed

Man kann Maximum und Minimum wechselweise durch den Betrag ausdrücken.

Satz 5223C (Minimum, Maximum und Betrag)

Für alle reellen Zahlen a,ba,b gilt:
  1. ∣a∣=max⁡{a,−a}|a|=\max\{ a,\uminus a\}=−min⁡{a,−a}=-\min\{ a,\uminus a\}
  2. max⁡{a,b}=12 (a+b+∣a−b∣)\max \{ a,b\}=\dfrac 1 2 \, (a+b + |a-b|)
  3. min⁡{a,b}=12 (a+b−∣a−b∣)\min \{ a,b\}=\dfrac 1 2 \, (a+b - |a-b|)

Beweis

(i) trivial.
(ii) Sei a≥ba\geq b dann gilt 12 (a+b+∣a−b∣)\dfrac 1 2 \, (a+b + |a-b|) =12 (a+b+a−b)=a=max⁡{a,b}=\dfrac 1 2 \, (a+b + a-b) =a=\max \{a,b\}. Die anderen Fälle laufen analog. □\qed
 
 

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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