Intervalle

Intervalle sind Teilmengen von \(\displaystyle \dom R\), die alle Zahlen umfassen, die zwischen zwei bestimmten Zahlen liegen. Es gibt folgende Typen von Intervallen:
\, a\leq x \leq b\}\) abgeschlossenes Intervall
\, a< x <b\}\) offenes Intervall
\, a\leq x <b\}\)
\(\displaystyle ]a,b]:=\{x| \, a< x \leq b\}\)
halboffene Intervalle
\, a\leq x <\infty\}\) uneigentliches Intervall
Für die (halb)offenen Intervalle ist auch die Schreibweise \(\displaystyle (a,b)\) an Stelle von \(\displaystyle ]a,b[\) üblich.
Es ist \(\displaystyle [a,b]\subseteq ]c,d[\) genau dann, wenn \(\displaystyle c< a\) und \(\displaystyle d> b\).
Intervalle (mit Ausnahme der uneigentlichen) sind immer beschränkt.
 
 

Lemma 5223A

Für ein \(\displaystyle \epsilon>0\) gilt \(\displaystyle |x-a|<\epsilon\) genau dann, wenn \(\displaystyle x\in ]a-\epsilon,a+\epsilon[\).

Beweis

Fall 1: \(\displaystyle x-a\geq 0\), dann ist \(\displaystyle x-a<\epsilon\), also \(\displaystyle x<a+\epsilon\). Lösungsmenge für diesen Fall ist das Intervall \(\displaystyle [a,a+\epsilon[\).
Fall 2: \(\displaystyle x-a<0\), dann ist \(\displaystyle -(x-a)<\epsilon\), also \(\displaystyle x>a-\epsilon\). Lösungsmenge für diesen Fall ist das Intervall \(\displaystyle ]a-\epsilon,a[\).
Die Vereinigung beider Lösungsmengen ergibt mit \(\displaystyle ]a-\epsilon,a+\epsilon[\) die Behauptung. \(\displaystyle \qed\)

Definition Epsilon-Umgebung

Für \(\displaystyle \epsilon>0\) heißt das offene Intervall \(\displaystyle ]a-\epsilon,a+\epsilon[\) eine \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um \(\displaystyle a\) und wird mit \(\displaystyle U_\epsilon(a)\) bezeichnet.

Abstandsfunktion

Definieren wir für zwei reelle Zahlen \(\displaystyle a,b\) mit \(\displaystyle \d(a,b):=|a-b|\) den Abstand, dann ist dies eine Metrik.
Die oben definierten \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebungen entsprechen genau denjenigen des so definierten metrischen Raums.

Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch.

Bertrand Russell

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