Axiomensystem der reellen Zahlen

Das Axiomensystem der reellen Zahlen besteht aus drei Arten von Axiomen:
Die reellen Zahlen R\dom R werden dann als diejenige Menge charakterisiert, die obige Axiome erfüllen.

Körperaxiome

Die Körperaxiome fordern, dass es sich bei den reellen Zahlen um einen kommutativen Körper handeln soll.
Es existieren also zwei binäre Operationen, die Addition ++ und die Multiplikation ⋅\cdot. Üblicherweise lässt man den Punkt (⋅\cdot) weg und die Klammersetzung erfolgt nach den Regeln Punktrechnung vor Strichrechnung.
Im Einzelnen sollen folgende Regeln für diese Operationen gelten

Assoziativgesetze

Für alle a,b,c∈Ra,b,c\in\domR gilt.
a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c
a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅ca\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

Existenz neutraler Elemente

Es existieren zwei ausgezeichnete reelle Zahlen 00 und 11, so dass für alle a∈Ra\in\domR gilt:
a+0=aa+0=a und a⋅1=aa\cdot 1=a.

Existenz inverser Elemente

Zu jedem a∈Ra\in\domR existiert ein −a∈R\uminus a\in\domR mit
a+(−a)=0a+(-a)=0
.
Wenn aa verschieden von 00 ist gibt es ein a−1a^\me mit
a⋅(a−1)=1a\cdot(a^\me)=1
.
Für a−1a^\me schreibt man auch 1a\dfrac 1 a.

Kommutativgesetze

Für alle a,b∈Ra,b\in\domR gilt:
a+b=b+aa+b=b+a und a⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot a.

Distributivgesetz

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c
Mit den obigen Axiomen gelten für die reellen Zahlen alle Eigenschaften, die für alle Körper gelten.
Insbesondere sind die neutralen und inversen Elemente eindeutig bestimmt (siehe Satz 5827A für Gruppen).
Auf Grund dieses Axiomensystems kann man in den reellen Zahlen rechnen wie in jedem Körper. Man kann sukzessive alle bekannten Rechenregeln herleiten.

Satz 16L4 (Folgerungen aus den Körperaxiomen)

Es seien a,b,x,y∈Ra,b,x,y\in\R , dann gilt:
  1. x⋅0=0x\cdot 0=0
  2. (−x)⋅y=−(xy)(-x)\cdot y = -(xy)
  3. Die Gleichung a+x=ba+x=b hat bei gegebenen a,ba,b (und gesuchtem xx ) genau eine Lösung, nämlich x=b−ax=b-a . Insbesondere ist das additive Inverse zu aa (als Lösung der Gleichung a+x=0a+x=0 ) eindeutig bestimmt. Es gilt außerdem −(−a)=a-(-a)=a, weil sowohl −(−a)-(-a) als auch aa additive Inverse zu −a-a sind.
  4. Die Gleichung ax=bax=b hat für gegebenes a≠0a\neq 0 und b∈Rb\in\R genau eine Lösung, nämlich x=ba−1=bax =ba^\me=\dfrac{b}{a}. Insbesondere ist das multiplikative Inverse a−1a^{-1} eindeutig bestimmt und (a−1)−1=a(a^{-1})^{-1}= a.
  5. Es ist x⋅y=0x\cdot y = 0 genau dann, wenn x=0∨y=0x=0\vee y=0 gilt.

Beweis

(i) x⋅0=x⋅(0+0)=x⋅0+x⋅0x\cdot 0{=}x\cdot(0+0) = x\cdot 0 + x\cdot 0, d.h. die reellen Zahlen x⋅0x\cdot 0 und x⋅0+x⋅0x\cdot 0 + x\cdot 0 sind gleich. Also sind auch x⋅0+(−x⋅0)⎵=0\displaystyle\underbrace{x\cdot 0 +(-x\cdot 0)}_{=0} und (x⋅0+x⋅0)+(−(x⋅0))(x\cdot 0 + x\cdot 0) +(-(x\cdot 0)) gleich. D.h. 0=x⋅00 = x\cdot 0 .
(ii) 0=(i)0⋅y0\stackrel{\text{(i)}}{=}0\cdot y=(x+(−x))y {=}(x+(-x))y=xy+((−x)y) {=}xy+((-x)y). Addition von −xy-xy zu beiden Zahlen liefert die Behauptung −(xy)=(−x)y-(xy)=(-x)y. (iii) + (iv) Gilt in allen Körpern. (v) Aus (i) folgt: xy=0xy=0, falls x=0x=0 oder y=0y=0. Ist andererseits xy=0xy=0 und x≠0x\neq 0, so können wir beide Seiten mit x−1x^{-1} multiplizieren. Es folgt: x−1(xy)=x−1⋅0x^{-1}(xy)=x^{-1}\cdot 0. Nach (i) ist x−1⋅0=0x^{-1}\cdot 0=0, also x−1(xy)=(x−1x)y=1⋅y=yx^{-1}(xy)=(x^{-1}x)y{=}1\cdot y=y. Somit folgt y=0y=0. Ebenso sehen wir: ist xy=0xy=0 und y≠0y\neq 0, so ist x=0x=0. Es können also, falls xy=0xy=0 ist, nicht beide Faktoren ≠0\neq 0 sein. □\qed
 
 

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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