Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen

Die Körperaxiome und Anordnungsaxiome genügen nicht, um die reellen Zahlen zu charakterisieren. Man kann sich leicht überzeugen, dass auch die rationalen Zahlen ein Modell für dieses Axiomensystem sind. Was die reellen Zahlen von den rationalen unterscheidet ist, dass sie vollständig sind, es mithin keine Lücken auf der Zahlengeraden mehr gibt.
Mit den Definitionen von Infimum und Supremum können wir die Vollständigkeit in griffiger Form ausdrücken.
 
 

Vollständigkeitsaxiom

Jede nichtleere nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Infimum.
Dies ist äquivalent zu: Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum. Denn das Komplement ist eine nach unten beschränkte Menge und das Infimum dieser Menge fällt genau mit dem Supremum zusammen.

Satz 16LT

Sei B⊂A⊂RB\subset A\subset \R, B¬=∅B\not=\emptyset, dann gilt:
  1. Ist AA beschränkt, so gilt inf⁡A≤sup⁡A\inf A\leq\sup A
  2. Ist AA nach oben beschränkt, so ist auch BB nach oben beschränkt und sup⁡B≤sup⁡A\sup B\leq \sup A
    Ist AA nach unten beschränkt, so ist auch BB nach unten beschränkt und inf⁡B≥inf⁡A\inf B\geq \inf A
  3. Ist AA nach oben beschränkt und γ\gamma eine obere Schranke von AA, so gilt:
    γ=sup⁡A⇔∀ϵ>0  ∃x∈Ax>γ−ϵ\gamma=\sup A\quad\Leftrightarrow\quad \forall\epsilon>0\; \exists x\in A\quad x>\gamma-\epsilon
    Ist AA nach unten beschränkt und γ\gamma eine untere Schranke von AA, so gilt:
γ=inf⁡A⇔∀ϵ>0  ∃x∈Ax<γ+ϵ\gamma=\inf A\quad\Leftrightarrow\quad \forall\epsilon>0\; \exists x\in A\quad x<\gamma+\epsilon

Beweis

(i) Wähle x∈Ax\in A. Da sup⁡A\sup A obere Schranke von AA, gilt: x≤sup⁡Ax\leq\sup A. Da inf⁡A\inf A untere Schranke von AA, gilt: x≥inf⁡Ax\geq\inf A; also inf⁡A≤sup⁡A \inf A\leq\sup A. (ii) sup⁡A\sup A ist obere Schranke von AA, also (wegen B⊂AB\subset A) auch von BB. Da sup⁡B\sup B kleinste obere Schranke von BB, folgt sup⁡B≤sup⁡A\sup B\leq\sup A. Infimum analog. (iii) Beweis für das Supremum; Infimum wieder analog. "⇒\Rightarrow": Sei γ=sup⁡A\gamma=\sup A, und sei ϵ>0\epsilon>0. Da γ−ϵ<γ\gamma-\epsilon<\gamma, ist γ−ϵ\gamma-\epsilon keine obere Schranke von AA. Also existiert ein x∈Ax\in A mit x>γ−ϵx>\gamma-\epsilon. ⇐\Leftarrow": Es gelte ∀ϵ>0  ∃x∈A    x>γ−ϵ\forall\epsilon>0\; \exists x\in A\;\; x>\gamma-\epsilon. Wäre γ\gamma nicht das Supremum von AA, so gäbe es eine kleinere obere Schranke γ~<γ\tilde\gamma<\gamma von AA. Wir setzen ϵ:=γ−γ~>0\epsilon :=\gamma-\tilde\gamma>0. Nach Voraussetzung existiert ein x∈Ax\in A mit x>γ−ϵ=γ−(γ−γ~)=γ~x>\gamma-\epsilon=\gamma - (\gamma-\tilde\gamma)=\tilde\gamma. ⇒γ~\Rightarrow \tilde\gamma ist keine obere Schranke von AA. ⇒\Rightarrow Widerspruch, also ist γ\gamma Supremum. □\qed

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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