Reelle Zahlenfolgen

Eine reelle Zahlenfolge (kurz: Folge) ist eine Abbildung \(\displaystyle \phi : \dom N\rightarrow \dom R\) von den natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen. Man setzt \(\displaystyle a_n=\phi(n)\) und nennt die einzelnen \(\displaystyle a_n\) die Glieder der Folge. Wenn man die gesamte Folge meint, schreibt man \(\displaystyle (a_n)\).
Der Wertebereich von \(\displaystyle \phi\) und damit der Folge ist die Menge \(\displaystyle \{ a_n\}\).
Es gibt zwei prinzipielle Möglichkeiten, Zahlenfolgen anzugeben.
Zum einen kann man Folgen mittels einer expliziten Formel definieren. -Diese erlaubt es, ein beliebiges Glied der Folge auszurechnen. z.B.: \(\displaystyle a_n= 2^n\)
Die zweite Möglichkeit ist die rekursive Definition. Dabei werden ein oder mehrere Anfangsglieder angegeben und eine Vorschrift, wie sich ein Glied der Folge aus dem/ den vorhergehenden errechnet. z.B. \(\displaystyle a_0=1\) und \(\displaystyle a_{n+1}=2\cdot a_n\). Auch dieses Beispiel beschreibt die geometrische Folge \(\displaystyle a_n= 2^n\).
Es ist für eine rekursiv gegebene Definition nicht immer (einfach) möglich eine explizite Darstellung zu finden.
Schließlich kann es auch gänzlich unmöglich sein, die Folge formelmäßig zu definieren, wenn es sich z.B. um Messwerte eines Versuches handelt.
 
 

Definitionen

Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn ihr Wertebereich beschränkt ist.
Eine Zahlenfolge heißt monoton wachsend (monoton fallend), falls \(\displaystyle a_{n+1}\geq a_n\) ( \(\displaystyle a_{n+1}\leq a_n\)) für alle \(\displaystyle n\) gilt. Ganz allgemein spricht man dann auch von einer monotonen Folge.
Eine Zahlenfolge heißt alternierend, wenn zwei aufeinander folgende Glieder das Vorzeichen wechseln, also: \(\displaystyle a_n\cdot a_{n+1}<0\).

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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