Unendliche Reihen
Sei
( a n ) (a_n) ( a n ) eine
Zahlenfolge , dann heißt die
Folge der
Partialsummen s 1 = a 1 s_1=a_1 s 1 = a 1 ,
s 2 = s 1 + a 2 s_2=s_1+a_2 s 2 = s 1 + a 2 , allgemein:
s n = s n − 1 + a n s_n=s_{n-1}+a_n s n = s n − 1 + a n eine
Reihe .
Nach der Definition gilt dann:
s n = ∑ k = 1 n a k s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k s n = k = 1 ∑ n a k .
Setzt man die Summenbildung ins Unendliche fort, spricht man von einer
unendlichen Reihe und schreibt
∑ k = 1 ∞ a k \sum\limits_{k=1}^\infty a_k k = 1 ∑ ∞ a k oder
( ∑ k = 1 n a k ) n ∈ N \left(\sum\limits_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \N} ( k = 1 ∑ n a k ) n ∈ N .
Besitzt die
Folge der
Partialsummen s n s_n s n einen
Grenzwert s s s sagt man, die
unendliche Reihe konvergiert und schreibt
s = lim n → ∞ s n = ∑ k = 1 ∞ a k s=\lim_{n\rightarrow\infty} s_n =\sum\limits_{k=1}^\infty a_k s = lim n → ∞ s n = k = 1 ∑ ∞ a k ;
andernfalls heißt die
Reihe divergent .
Damit kann man Konvergenzbetrachtungen für
unendliche Reihen auf die Konvergenz der
Folgen der
Partialsummen zurückführen.
Beispiele
Beispiel 15V4
∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 ) = 1 \sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac 1{k(k+1)}=1 k = 1 ∑ ∞ k ( k + 1 ) 1 = 1 Für die
Partialsummen s n s_n s n gilt:
∑ k = 1 n 1 k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 n 1 k − 1 k + 1 \sum\limits_{k=1}^n \dfrac 1{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac 1 k -\dfrac 1{k+1} k = 1 ∑ n k ( k + 1 ) 1 = k = 1 ∑ n k 1 − k + 1 1 ,
was ausgeschrieben ist:
s n = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + … + ( 1 n − 1 n + 1 ) s_n=\braceNT{1-\dfrac 1 2}+\braceNT{\dfrac 1 2-\dfrac 1 3}+\braceNT{\dfrac 1 3-\dfrac 1 4}+\ldots+\braceNT{\dfrac 1 n-\dfrac 1 {n+1}} s n = ( 1 − 2 1 ) + ( 2 1 − 3 1 ) + ( 3 1 − 4 1 ) + … + ( n 1 − n + 1 1 ) .
Nun sieht man leicht, dass man durch Umklammern des Ausdruckes die Formel
s n = 1 − 1 n + 1 s_n=1-\dfrac 1{n+1} s n = 1 − n + 1 1
ableiten kann.
∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 ) = lim n → ∞ s n = lim n → ∞ 1 − 1 n + 1 = 1 \sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac 1{k(k+1)}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} s_n=\lim_{n\rightarrow\infty} 1-\dfrac 1{n+1}=1 k = 1 ∑ ∞ k ( k + 1 ) 1 = n → ∞ lim s n = n → ∞ lim 1 − n + 1 1 = 1 ,
Beispiel 5409D
Die
Reihe ∑ k = 1 ∞ 1 k \sum\limits_{k=1}^\infty{\dfrac 1 {\sqrt k}} k = 1 ∑ ∞ k 1 ist
divergent .
s n = ∑ k = 1 n 1 k ≥ n ⋅ 1 n = n s_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1 {\sqrt k}\geq n\cdot\dfrac 1 {\sqrt n}=\sqrt n s n = k = 1 ∑ n k 1 ≥ n ⋅ n 1 = n ,
und diese
Folge der
Partialsummen ist
divergent .
Satz 16JM (Rechenregeln für konvergente Reihen)
Die Multiplikation mit einem konstanten Faktor erhält die Konvergenz. ∑ a n \sum\limits a_n ∑ a n konvergent ⇒ ∑ c a n \Rightarrow \sum\limits ca_n ⇒ ∑ c a n c ∈ R = c ∑ a n c\in \R =c\sum\limits a_n c ∈ R = c ∑ a n
Die Summe zweier konvergenter Reihen konvergiert. ∑ a n \sum\limits a_n ∑ a n ∑ b n \sum\limits b_n ∑ b n konvergent ⇒ ∑ ( a n + b n ) \Rightarrow \sum\limits(a_n+b_n) ⇒ ∑ ( a n + b n ) konvergent .
∑ n = 1 ∞ a n \sum\limits_{n=1}^\infty a_n n = 1 ∑ ∞ a n konvergent ⇒ ∑ k + 1 ∞ ( ∑ j = k n k + 1 a j ) \Rightarrow \sum\limits_{k+1}^\infty \left(\sum\limits_{j=k}^{n_k+1} a_j\right) ⇒ k + 1 ∑ ∞ ( j = k ∑ n k + 1 a j ) konvergent 1 = n 1 < n 2 < … 1=n_1<n_2<\ldots 1 = n 1 < n 2 < …
Beweis
(i) Sei
s n = ∑ k = 1 n a k s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k s n = k = 1 ∑ n a k ,
lim s n = ∑ k = 1 ∞ a k \lim s_n=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k lim s n = k = 1 ∑ ∞ a k , dann gilt
∑ k = 1 ∞ c a k = lim ( c s n ) \sum\limits_{k=1}^\infty ca_k =\lim(cs_n) k = 1 ∑ ∞ c a k = lim ( c s n ) = c lim s n = c ∑ k = 1 ∞ a k =c\lim s_n =c\sum\limits_{k=1}^\infty a_k = c lim s n = c k = 1 ∑ ∞ a k (nach
Satz 5225C ). (ii) Sei
s n = ∑ k = 1 n a k s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k s n = k = 1 ∑ n a k ,
t n = ∑ k = 1 n b k t_n=\sum\limits_{k=1}^n b_k t n = k = 1 ∑ n b k ,
s n + t n = ∑ k = 1 n ( a n + b k ) s_n+t_n=\sum\limits_{k=1}^n (a_n+ b_k) s n + t n = k = 1 ∑ n ( a n + b k ) . Dann ist nach
Satz 5225C ∑ k = 1 ∞ ( a k + b k ) = lim ( s n + t n ) \sum\limits_{k=1}^\infty (a_k+b_k)=\lim (s_n+t_n) k = 1 ∑ ∞ ( a k + b k ) = lim ( s n + t n ) = lim s n + lim t n =\lim s_n +\lim t_n = lim s n + lim t n = ∑ k = 1 ∞ a k + ∑ k = 1 ∞ b k =\sum\limits_{k=1}^\infty a_k +\sum\limits_{k=1}^\infty b_k = k = 1 ∑ ∞ a k + k = 1 ∑ ∞ b k . (iii)
s n = ∑ k = 1 n a k s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k s n = k = 1 ∑ n a k ,
s l + 1 n − 1 = ∑ k = 1 l ( ∑ j = n k n k + 1 − 1 a j ) s_{\stackrel{n-1}{l+1}}=\sum\limits_{k=1}^l\left(\sum\limits_{j=n_k}^{n_{k+1}-1} a_j\right) s l + 1 n − 1 = k = 1 ∑ l ( j = n k ∑ n k + 1 − 1 a j ) für
1 = n 1 < n 2 < … 1=n_1<n_2<\ldots 1 = n 1 < n 2 < … .
lim s n \lim s_n lim s n existiert und
lim s n = lim l → ∞ s l + 1 n − 1 \lim s_n= \lim\limits_{l\rightarrow \infty} s_{\stackrel{n-1}{l+1}} lim s n = l → ∞ lim s l + 1 n − 1 , da jede
Teilfolge den gleichen
Grenzwert hat.
□ \qed □ Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.
Émile Lemoine
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