Unendliche Reihen

Sei (an)(a_n) eine Zahlenfolge, dann heißt die Folge der Partialsummen s1=a1s_1=a_1, s2=s1+a2s_2=s_1+a_2, allgemein: sn=sn1+ans_n=s_{n-1}+a_n eine Reihe.
Nach der Definition gilt dann: sn=k=1naks_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k.
Setzt man die Summenbildung ins Unendliche fort, spricht man von einer unendlichen Reihe und schreibt k=1ak\sum\limits_{k=1}^\infty a_k oder (k=1nak)nN\left(\sum\limits_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \N}.
Besitzt die Folge der Partialsummen sns_n einen Grenzwert ss sagt man, die unendliche Reihe konvergiert und schreibt
s=limnsn=k=1aks=\lim_{n\rightarrow\infty} s_n =\sum\limits_{k=1}^\infty a_k;
andernfalls heißt die Reihe divergent.
Damit kann man Konvergenzbetrachtungen für unendliche Reihen auf die Konvergenz der Folgen der Partialsummen zurückführen.
 
 

Beispiele

Beispiel 15V4

k=11k(k+1)=1\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac 1{k(k+1)}=1
Für die Partialsummen sns_n gilt:
k=1n1k(k+1)=k=1n1k1k+1\sum\limits_{k=1}^n \dfrac 1{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac 1 k -\dfrac 1{k+1},
was ausgeschrieben ist:
sn=(112)+(1213)+(1314)++(1n1n+1)s_n=\braceNT{1-\dfrac 1 2}+\braceNT{\dfrac 1 2-\dfrac 1 3}+\braceNT{\dfrac 1 3-\dfrac 1 4}+\ldots+\braceNT{\dfrac 1 n-\dfrac 1 {n+1}}.
Nun sieht man leicht, dass man durch Umklammern des Ausdruckes die Formel
sn=11n+1s_n=1-\dfrac 1{n+1}
ableiten kann.
Damit kann der Grenzwert der Reihe auf den Grenzwert einer Zahlenfolge zurückgeführt werden und es gilt:
k=11k(k+1)=limnsn=limn11n+1=1\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac 1{k(k+1)}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} s_n=\lim_{n\rightarrow\infty} 1-\dfrac 1{n+1}=1,
da 1n+1\dfrac 1{n+1} eine Nullfolge ist (vgl. Beispiel 5903A).

Beispiel 5409D

Die Reihe k=11k\sum\limits_{k=1}^\infty{\dfrac 1 {\sqrt k}} ist divergent.
Ihre Glieder bilden eine monoton fallende Zahlenfolge, damit gilt
sn=k=1n1kn1n=ns_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1 {\sqrt k}\geq n\cdot\dfrac 1 {\sqrt n}=\sqrt n,
und diese Folge der Partialsummen ist divergent.

Satz 16JM (Rechenregeln für konvergente Reihen)

  1. Die Multiplikation mit einem konstanten Faktor erhält die Konvergenz.
    an\sum\limits a_n ist konvergent can\Rightarrow \sum\limits ca_n konvergiert cR=canc\in \R =c\sum\limits a_n.
  2. Die Summe zweier konvergenter Reihen konvergiert.
    an\sum\limits a_n, bn \sum\limits b_n sind konvergent (an+bn)\Rightarrow \sum\limits(a_n+b_n) konvergent.
  3. n=1an\sum\limits_{n=1}^\infty a_n konvergent k+1(j=knk+1aj)\Rightarrow \sum\limits_{k+1}^\infty \left(\sum\limits_{j=k}^{n_k+1} a_j\right) konvergent 1=n1<n2<1=n_1<n_2<\ldots

Beweis

(i) Sei sn=k=1naks_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k, limsn=k=1ak\lim s_n=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k, dann gilt k=1cak=lim(csn)\sum\limits_{k=1}^\infty ca_k =\lim(cs_n) =climsn=ck=1ak =c\lim s_n =c\sum\limits_{k=1}^\infty a_k (nach Satz 5225C). (ii) Sei sn=k=1naks_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k, tn=k=1nbkt_n=\sum\limits_{k=1}^n b_k, sn+tn=k=1n(an+bk)s_n+t_n=\sum\limits_{k=1}^n (a_n+ b_k). Dann ist nach Satz 5225C k=1(ak+bk)=lim(sn+tn)\sum\limits_{k=1}^\infty (a_k+b_k)=\lim (s_n+t_n)=limsn+limtn =\lim s_n +\lim t_n=k=1ak+k=1bk =\sum\limits_{k=1}^\infty a_k +\sum\limits_{k=1}^\infty b_k. (iii) sn=k=1naks_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k, sl+1n1=k=1l(j=nknk+11aj)s_{\stackrel{n-1}{l+1}}=\sum\limits_{k=1}^l\left(\sum\limits_{j=n_k}^{n_{k+1}-1} a_j\right) für 1=n1<n2<1=n_1<n_2<\ldots. limsn\lim s_n existiert und limsn=limlsl+1n1\lim s_n= \lim\limits_{l\rightarrow \infty} s_{\stackrel{n-1}{l+1}}, da jede Teilfolge den gleichen Grenzwert hat. \qed

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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