Multiplikation

Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden:
\(\displaystyle {b+b+\cdots+b} = \sum\limits_{i=1}^{a}b = a \cdot b \)
\(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) nennt man Faktoren oder Multiplikanden. Das Ergebnis, gesprochen "\(\displaystyle a\) mal \(\displaystyle b\)", heißt Produkt.
Zum Beispiel schreibt man \(\displaystyle 3 \cdot 4\) für \(\displaystyle 4 + 4 + 4\), und spricht diesen Term als "dreimal vier".
Anstelle von \(\displaystyle 3 \cdot 4\) wird manchmal auch \(\displaystyle 3 \cross 4\) geschrieben. In Computerprogrammen verwendet man oft das Zeichen *. Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (\(\displaystyle 5 x \), \(\displaystyle xy\)).
Bei der Multiplikation mehrerer oder vieler Zahlen kann man das Produkt-Symbol \(\displaystyle \prod\limits\) verwenden:
\(\displaystyle 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod\limits_{i=1}^5 (2i+1) = 10\, 395\)
Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z.B. ist
\(\displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64\)
Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit) ist definiert als Produkt a·b .
Die umgekehrte Operation zum Multiplizieren ist das Dividieren, das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.
 
 

Rechengesetze

Assoziativgesetz \(\displaystyle a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c\)
Kommutativgesetz \(\displaystyle a \cdot b = b \cdot a\)
Distributivgesetz \(\displaystyle a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
neutrales Element \(\displaystyle a \cdot 1 = a \)
inverses Element \(\displaystyle a \cdot a^{-1} = 1 \quad \forall a\neq 0\)
absorbierendes Element \(\displaystyle a \cdot 0 = 0 \)

Mehr als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt.
Das Assoziativgesetz besagt nun, dass die Reihenfolge eigentlich egal ist, man kann also auch von rechts beginnen, oder (aufgrund des Kommutativgesetzes) mit zwei beliebigen Faktoren anfangen.
Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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