Multiplikation

Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden:
b+b+⋯+b=∑i=1ab=a⋅b {b+b+\cdots+b} = \sum\limits_{i=1}^{a}b = a \cdot b
aa und bb nennt man Faktoren oder Multiplikanden. Das Ergebnis, gesprochen "aa mal bb", heißt Produkt.
Zum Beispiel schreibt man 3⋅43 \cdot 4 für 4+4+44 + 4 + 4, und spricht diesen Term als "dreimal vier".
Anstelle von 3⋅43 \cdot 4 wird manchmal auch 3×43 \cross 4 geschrieben. In Computerprogrammen verwendet man oft das Zeichen *. Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5x5 x , xyxy).
Bei der Multiplikation mehrerer oder vieler Zahlen kann man das Produkt-Symbol ∏\prod\limits verwenden:
3⋅5⋅7⋅9⋅11=∏i=15(2i+1)=10 3953 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod\limits_{i=1}^5 (2i+1) = 10\, 395
Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z.B. ist
2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2=26=642 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64
Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen aa und bb (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit) ist definiert als Produkt a·b .
Die umgekehrte Operation zum Multiplizieren ist das Dividieren, das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.
 
 

Rechengesetze

Assoziativgesetz a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c=a⋅b⋅ca \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c
Kommutativgesetz a⋅b=b⋅a a \cdot b = b \cdot a
Distributivgesetz a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
neutrales Element a⋅1=a a \cdot 1 = a
inverses Element a⋅a−1=1∀a≠0 a \cdot a^{-1} = 1 \quad \forall a\neq 0
absorbierendes Element a⋅0=0a \cdot 0 = 0

Mehr als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt.
Das Assoziativgesetz besagt nun, dass die Reihenfolge eigentlich egal ist, man kann also auch von rechts beginnen, oder (aufgrund des Kommutativgesetzes) mit zwei beliebigen Faktoren anfangen.
Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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