Das Rechteck

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Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln heißt Rechteck. (Es genügt drei rechte Innenwinkel zu fordern, da der vierte dann wegen der Innenwinkelsumme ebenfalls ein rechter Winkel sein muss)

Satz 16GH (Charakterisierung des Rechtecks)

Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck wenn wenigstens eine der folgenden Bedingungen gilt
 
 

Beweis

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Um nachzuweisen, dass jedes Rechteck ein Parallelogramm ist, zeigt man, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sind (Satz 16GF).
Nach Satz des Pythagoras ergibt sich: \(\displaystyle a^2+b^2=e^2=c^2+d^2\) und \(\displaystyle b^2+c^2=f^2=a^2+d^2\), woraus man die beiden Gleichungen \(\displaystyle a^2-c^2=c^2-a^2\) und \(\displaystyle b^2-d^2=d^2-b^2\) ableiten kann, womit \(\displaystyle a=c\) und \(\displaystyle b=d\) gilt.
Für den Beweis des zweiten Teils sei nun ein Parallelogramm gegeben. Ist ein Innenwinkel rechtwinklig, so müssen trivialerweise auch alle anderen Winkel rechte sein.
In einem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang, da es sich nach dem oben Bewiesenen um ein Parallelogramm mit rechten Winkeln handelt. In diesem können wir den Satz des Pythagoras anwenden und erhalten für beide Diagonalen \(\displaystyle e^2=a^2+b^2=f^2\), also \(\displaystyle e=f\).
Sind andererseits in einem Parallelogramm die Diagonalen gleich lang, so gilt nach der Parallelogrammgleichung \(\displaystyle e^2=f^2=a^2+b^2\) und mit der Umkehrung des Satzes des Pythagoras erhalten wir, dass die Innenwinkel rechte Winkel sind, es sich mithin um ein Rechteck handelt. \(\displaystyle \qed\)
Die Länge der Diagonalen \(\displaystyle d\) ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras mit \(\displaystyle d=\sqrt{a^2+b^2}\). Beide Diagonalen sind offensichtlich gleich lang.

Flächeninhalt

\(\displaystyle A=a\cdot b\)

Umfang

\(\displaystyle u=2\cdot(a+b)\)

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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