Flächeninhalt des Vierecks

Bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Vierecks zerlegt man dieses am Besten geeignet in Teildreiecke.
Ist das Viereck konvex können wir folgenden Satz benutzen.

Satz 5518E (Flächeninhalt des Vierecks aus Länge der Diagonalen)

Seien \(\displaystyle e\) und \(\displaystyle f\) die Diagonalen eines konvexen Vierecks und \(\displaystyle \phi\) der Winkel dazwischen. Dann gilt für den Flächeninhalt des Vierecks
\(\displaystyle A=\dfrac 1 2\cdot ef\cdot \sin\phi\)
 
 

Beweis

FlViereck.png
Die Bezeichnungen entnehme man nebenstehender Grafik.
Mit Formel 5518B erhalten wir als Fläche für die einzelnen Teildreiecke
(1)
\(\displaystyle A_a=\dfrac {1} 2\cdot e_1 \cdot f_1 \sin \phi\)
(2)
\(\displaystyle A_b=\dfrac 1 2\cdot f_1 \cdot e_2 \sin (180°-\phi)\)
(3)
\(\displaystyle A_c=\dfrac {1} 2\cdot e_2 \cdot f_2 \sin \phi\)
(4)
\(\displaystyle A_d=\dfrac 1 2\cdot f_2 \cdot e_1 \sin (180°-\phi)\).
Wegen \(\displaystyle \sin (180°-\phi)=\sin\phi\) können wir Gleichungen (2) und (4) als
(5)
\(\displaystyle A_b=\dfrac 1 2\cdot f_1 \cdot e_2 \sin\phi\)
und
(6)
\(\displaystyle A_d=\dfrac 1 2\cdot f_2 \cdot e_1 \sin \phi\).
schreiben.
Addieren wir (1) und (6) sowie (2) und (5) ergeben sich
(7)
\(\displaystyle A_a+A_d=\dfrac 1 2\cdot e_1\cdot(f_1+f_2) \sin\phi\)
(8)
\(\displaystyle A_b+A_c=\dfrac 1 2\cdot e_2\cdot(f_1+f_2) \sin\phi\).
Durch Addition der letzen beiden Gleichungen erhalten wir die Behauptung. \(\displaystyle \qed\)

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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