Polygone

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Nicht konvexes, überschlagenes Polygon
Ein Polygon oder auch Vieleck bezeichnet eine von Strecken begrenzten ebene Figur. Diese Strecken heißen Seiten und ihre gemeinsamen Punkte Ecken des Polygons. Typische Vertreter sind Dreiecke, Vierecke und Sechsecke, wohingegen Kreise keine Polygone sind.

Definition

Seien für \(\displaystyle n>=3\) \(\displaystyle P_1, P_2, \ldots , P_n \) paarweise verschiedene Punkte der Ebene. Dann heißt die von den \(\displaystyle n\) Strecken \(\displaystyle \nohtml \ovl{P_1P_2}\), \(\displaystyle \nohtml \ovl{P_2P_3}\), ... , \(\displaystyle \nohtml \ovl{P_nP_1}\) gebildetete geschlossene geometrische Figur ein Polygon. Nach der Anzahl der Ecken spricht man auch vom \(\displaystyle n\)-Eck.
Die Punkte \(\displaystyle P_i\) heißen die Ecken des Polygons und die Strecken \(\displaystyle \overline {P_i P_{i+1}} \braceNT{i=1, \ldots, n-1 }\) und \(\displaystyle \overlineI { P_n P_1 }\) seine Seiten oder auch Kanten
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Reguläres Sechseck
Schneiden oder berühren sich Kanten, so heißt dass Polygon überschlagen.Des weiteren wollen wir voraussetzen, dass drei aufeinanderfolgende Eckpunkte nicht kollinear sind, das Polygon also keine 180° großen Innenwinkel besitzt.
Verbindungsstrecken, die keine Kanten sind heißen Diagonalen.
 
 

Satz 5515L (Anzahl der Diagonalen im Polygon)

In einem Polygon mit \(\displaystyle n\) Ecken gibt es
\(\displaystyle \dfrac {n(n-3)} 2\)
Diagonalen.

Beweis

Es gibt
(1)
\(\displaystyle \dfrac {n(n-1)} 2\)
Möglichkeiten \(\displaystyle n\) Punkte untereinander zu verbinden. Ein \(\displaystyle n\)-Eck hat genau \(\displaystyle n\) Seiten. Ziehen wir diese von (1) ab, erhalten wir mit
\(\displaystyle \dfrac {n(n-1)} 2-n=\dfrac {n^2-n -2n} 2= \dfrac {n(n-3)} 2\)
die Behauptung. \(\displaystyle \qed\)

Satz C7PF (Innenwinkel in konvexen Polygonen)

In einem nicht überschlagenen, konvexen \(\displaystyle n\)-Eck ist die Summe der Innenwinkel
\(\displaystyle \alpha_1+\dots +\alpha_n = (n - 2) \cdot 180^\circ\).
Sind darüber hinaus alle Innenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert
\(\displaystyle \alpha = \dfrac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ\).

Beweisidee

Man führt den Beweis mittels vollständiger Induktion über die Eckenanzahl. Für \(\displaystyle n=3\) greift man auf Satz 5515C zurück.Im Induktionsschritt zerlegt man das \(\displaystyle n+1\)-Eck durch eine Diagonale z.B. zwischen \(\displaystyle P_{n-1}\) und \(\displaystyle P_1\) in ein \(\displaystyle n\)-Eck und ein Dreieck. Diese Diagonale liegt wegen der Konvexität innerhalb des Polygons und wir zeigen die Induktionsbehauptung durch Aufsummieren der Innenwinkel des \(\displaystyle n\)-Ecks und der abgespalteten Dreiecks. \(\displaystyle \qed\)

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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