Reguläre Polygone

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Reguläres Sechseck
Ein Polygon heißt regulär oder regelmäßig, wenn alle seine Seiten gleich lang und alle [!Innenwinkel] gleich groß sind.
Das gleichseitige Dreieck und das Quadrat sind die regulären Polygone mit 33 bzw. 44 Ecken.

Formeln

Ein reguläres Polygon besitzt einen Umkreis mit Radius rur_\mathrm u und einen Inkreis mit Radius rir_\mathrm i. Die Länge jeder Seite wird mit aa bezeichnet, die Seitenanzahl mit nn.
 
 

Flächeninhalt

A=n a ri2 A = n \dfrac{ \, a \, r_i }{2} =n2 ru2 sin⁡2πn = \dfrac{n}{2} \, r_u^2 \, \sin { \dfrac{2 \pi }{n}} =14na2cot⁡180∘n = \dfrac{1}{4} n a^2 \cot \dfrac{180^\circ}{n} =n⋅a24⋅tan⁡(180∘n) = \dfrac{n\cdot a^2}{4\cdot\tan \braceNT{ \dfrac{180^\circ}{n} }}

Inkreisradius

ri=a2cot⁡180∘n r_i = \dfrac{a}{2} \cot \dfrac{180^\circ}{n} =a2⋅tan⁡(180∘n) =\dfrac{a} {2\cdot\tan \braceNT{ \dfrac{180^\circ}{n} }}

Umkreisradius

ru=a2sin⁡180∘n r_u = \dfrac{a}{2 \sin \dfrac{180^\circ}{n}} =a2⋅sin⁡(180∘n) = \dfrac{a}{2\cdot\sin \braceNT{ \dfrac{180^\circ}{n} }}

"Offensichtlich" ist das gefährlichste Wort in der Mathematik.

Eric Temple Bell

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