Siebzehneck

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regelmäßiges Siebzehneck
Das Siebzehneck (Heptadekagon) ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, welche durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Hier geht es um das regelmäßige Siebzehneck, welches siebzehn gleichlange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.
 
 

Eigenschaften

Der Zentriwinkel \(\displaystyle \alpha \) hat einen Wert von \(\displaystyle \dfrac{360^\circ}{17} \approx 21{,}17647059^\circ\).
Das Verhältnis der Länge einer Seite zum Umkreisradius beträgt:
\(\displaystyle s = 2 \cdot r_u \cdot \sin \braceNT{ \dfrac{\alpha}{2} } \approx r_u \cdot 0{,}3675\)
Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist, d. h., es kann nur mit Zirkel und Lineal (den Euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden. Dies wurde von Carl Friedrich Gauß im Jahre 1796 nachgewiesen. Er zeigte, dass der Kosinus des Zentriwinkels der Formel
\(\displaystyle \cos \dfrac{360^\circ}{17} = \dfrac{1}{16} \braceNT{ -1 + \sqrt{17} + \sqrt{ 2 \braceNT{17- \sqrt{17} }} + 2 \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{2 \braceNT{17- \sqrt{17} }} - 2 \sqrt{2 \braceNT{17+ \sqrt{17} }} } }\)
entspricht, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt.
Im Jahre 1825 veröffentlichte Johannes Erchinger erstmalig eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige Siebzehneck in 64 Schritten.

Konstruktion

Exakte Konstruktion

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  1. Zeichnen eines großen Kreises \(\displaystyle k_{1}\) (des späteren Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um O,
  2. Zeichnen eines Durchmessers \(\displaystyle \overline{AB}\),
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m, welche \(\displaystyle k_{1}\) in C und D schneidet,
  4. Konstruktion des Mittelpunktes E von \(\displaystyle \overline{DO}\),
  5. Konstruktion des Mittelpunktes F von \(\displaystyle \overline{EO}\) und Zeichnen von \(\displaystyle \overline{FA}\),
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden \(\displaystyle w_{1}\) des Winkels OFA,
  7. Konstruktion der Winkelhalbierenden \(\displaystyle w_{2}\) des Winkels zwischen m und \(\displaystyle w_{1}\), Schnittpunkt mit \(\displaystyle \overline{AB}\) ist Punkt G.
  8. Konstruktion der Senkrechten s zu \(\displaystyle w_{2}\) auf dem Punkt F,
  9. Konstruktion der Winkelhalbierenden \(\displaystyle w_{3}\) zwischen s und \(\displaystyle w_{2}\). Schnittpunkt mit \(\displaystyle \overline{AB}\) ist Punkt H.
  10. Konstruktion des Thaleskreises \(\displaystyle k_{2}\) über \(\displaystyle \overline{HA}\). Die Schnittpunkte mit \(\displaystyle \overline{CD}\) sind J und K.
  11. Konstruktion eines Kreises \(\displaystyle k_{3}\) um G, der durch J und K verläuft. Die Schnittpunkte mit \(\displaystyle \overline{AB}\) sind die Punkte L und N (dabei liegt N sehr nahe am Mittelpunkt M von \(\displaystyle k_{2}\)).
  12. Konstruktion einer Tangente zu \(\displaystyle k_{3}\) durch N.
Die Schnittpunkte dieser Tangente mit dem Ausgangskreis \(\displaystyle k_{1}\) sind die Punkte \(\displaystyle P_{3}\) und \(\displaystyle P_{14}\) des regelmäßigen Siebzehnecks. Mit A = \(\displaystyle P_{0}\) lassen sich durch je siebenmaliges Abtragen des Abstandes d in jede Richtung auf dem Kreis alle weiteren Punkte des Siebzehnecks finden.

Näherungskonstruktion

Siebzehneck-Circa.png
Viel praktikabler, aber nur eine Näherung ist folgende Konstruktion:
  1. Zeichne um einen Punkt M auf einer Geraden einen Kreis k, die Schnittpunkte sind A und B.
  2. Halbiere den Radius \(\displaystyle \overline{AM}\) dreimal nacheinander zum Mittelpunkt M hin (Punkte C, D und E).
  3. Halbiere die Strecke \(\displaystyle \overline{EB}\) (Punkt F).
  4. Konstruiere in Punkt F die Senkrechte zu \(\displaystyle \overline{AB}\).
  • Kurzgefasst: Konstruiere im Abstand von 9/16 Radius von B eine Senkrechte.
Die Schnittpunkte dieser Senkrechten mit dem Kreis sind gute Näherungen für die Punkte \(\displaystyle P_{3}\) und \(\displaystyle P_{14}\).
Mit B = \(\displaystyle P_{0}\) lassen sich durch je siebenmaliges Abtragen des Abstandes d in jede Richtung auf dem Kreis alle weiteren Punkte des Siebzehnecks finden.
Bei dieser Konstruktion ergibt sich ein relativer Winkelfehler von +0.83 %. Der Winkel und damit auch die Seite sind also etwas zu groß. Bei einem Radius von 332,4 mm ist die Seite 1 mm zu lang.

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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