Satz des Thales

Der Satz des Thales war in der Antike in empirischer Form bereits den Ägyptern und Babyloniern bekannt. Der erste Beweis wird dem griechischen Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben.

Jedem rechtwinkligen Dreieck kann ein Kreis umschrieben werden, dessen Mittelpunkt die Hypotenuse des Dreiecks halbiert. Dieser Kreis heißt Thaleskreis .

Auch die Umkehrung gilt: Sei $M$ der Mittelpunkt eines Kreises. $A$ liege auf dem Kreis. $B$ sei der zweite Schnittpunkt des Kreises mit der Gerade die durch $A$ und $M$ geht. Wenn $C$ ein beliebiger Punkt außer $A$ und $B$ auf dem Kreis ist, so ist $\Delta ABC$ rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei $C$.

In der Abbildung sind $\alpha$ und $\beta$ rechte Winkel.

Dies ist ein Spezialfall des Zentri-Peripherie-Winkelsatzes Der Zentriwinkel ist dabei ein gestreckter Winkel. Damit sind die Winkel $\alpha$ und $\beta$ - als Peripheriewinkel - rechte Winkel. $\qed$

Die Dreiecke $\triangle AMC$ und $\triangle CMB$ sind gleichschenklig. Daher sind die in der Grafik mit $\alpha$ und $\beta$ bezeichneten Winkel jeweils gleich groß.

Mit dem Innenwinkelsatz gilt in diesen beiden Dreiecken:

Außerdem gilt $\gamma+\delta=180°$ (gestreckter Winkel). Nun ist $360°=2\alpha+2\beta+\gamma+\delta$ $=2(\alpha+\beta)+180°$, also $\alpha+\beta=90°$. $\qed$

Beide Beweise haben gezeigt, dass das Dreieck im Halbkreis rechtwinklig ist.

Man spiegelt den Punkt $C$ an $M$ und erhält $D$. Das Viereck $ADBC$ ist nach Satz 15WO ein Parallelogramm, da die Radien $r$ jeweils die halben Diagonalen sind. Beide Diagonalen sind gleich lang, daher ist nach Satz 16GH das Parallelogramm ein Rechteck und das Dreieck $ABC$ ist rechtwinklig.

Die Umkehrung ergibt sich einfach daraus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Umkreismittelpunkt auf der Hypotenuse liegt. Nach Satz 5515E schneiden sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks im Mittelpunkt des Umkreises. Man zeigt, dass dieser Mittelpunkt die Hypotenuse halbiert. Sei $E$ der Mittelpunkt der Seite $BC$. Die Mittelsenkrechte durch $E$ schneide $AB$ im Punkt $D$. Zu zeigen ist, dass $D$ die Seite $AB$ halbiert, und damit Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist. Da $\angle BED$ ein rechter Winkel ist, können wir die Strahlensätze anwenden. Es gilt $|BD|:|BA|=|BE|:|BC|=1:2$, womit $D$ die Seite $AB$ halbiert. $\qed$