Peripheriewinkelsatz

Peripheriwinkel.png
Bei der Definition des Peripheriewinkels haben wir diese in der nebenstehenden Abbildung etwas lax beide mit β\beta bezeichnet ohne uns groß Gedanken darum zu machen, ob sie wirklich gleichgroß sind. Dies ist aber genau die Aussage des Peripheriewinkelsatzes.

Satz 5513B (Peripheriwinkelsatz/ Umfangswinkelsatz)

Alle Peripheriwinkel (in der gleichen Halbebene) über dem gleichen Kreisbogen sind gleichgroß

Beweis

Unter Zuhilfenahme des Zentri-Peripherie-Winkelsatzes ergibt sich die Behauptung sofort. Denn die Winkel ACB\angle ACB und ADB\angle ADB sind beide Peripheriwinkel zum gleichen Zentriwinkel α\alpha. Sind also beide halb so groß wie α\alpha und damit untereinander gleich. \qed

Den Peripheriewinkelsatz kann man auch umkehren und damit zur Charakterisierung eines Kreises verwenden.
Periumk.png

Satz A7RC (Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes)

Über einer Strecke AB\ovl {AB} werden die Punkte CC und DD so gewählt, dass sie in einer Halbebene liegen und ACB=ADB\angle ACB=\angle ADB. Dann liegen die Punkte AA, BB, CC und DD auf einem Kreis.

Beweis

Wir bilden den Kreis kk um die Punkte AA, BB und CC. Angenommen DD liegt nicht auf diesem Kreis. Dann gibt es einen Punkt PP, der auf der Geraden durch AA und DD liegt und den Kreis kk schneidet. Nach dem Peripheriewinkelsatz ist nun aber ACB=APB=ADB\angle ACB=\angle APB=\angle ADB. Die Dreiecke ΔABP\Delta ABP und ΔABD\Delta ABD sind kongruent, da sie in einer Seite und 3 Winkeln übereinstimmen und müssen sogar identisch übereinander liegen, da sie zwei gemeinsame Punkte haben. Damit müssen aber die Punkte PP und DD übereinstimmen, im Widerspruch zur Annahme, dass DD nicht auf dem Kreis kk liegt. \qed

Um Peripheriewinkel zu berechnen kann man sich folgende Beziehung zu Nutze machen:

Formel 5513C

sinβ=AB2r\sin \, \beta = \dfrac {\overline{AB}}{2r},
wobei rr der Radius des Kreises ist.
Peripheriewinkelb3.png

Beweis

Sei β\beta der Peripheriwinkel und α\alpha der zugehörige Zentriwinkel. Nach dem Zentri-Peripheri-Winkelsatz gilt: α=2β\alpha=2\beta.
Der Punkt FF ist der Lotfußpunkt von MM auf AB\overline{AB}. Wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks ΔABM\Delta ABM halbiert das Lot den Winkel α\alpha.
Dann gilt nach dem Innenwinkelsatz α2+γ=90°\dfrac\alpha 2 + \gamma =90° also β+γ=90°\beta + \gamma=90° und damit ist: γ=90°β\gamma=90°-\beta.
Der Punkt FF halbiert AB\overline{AB} also erhalten wir mit der Definition des Cosinus: cosγ=AB/2AM\cos \gamma=\dfrac {\overline{AB}/2}{\overline{AM}}; also cos(90°β)=AB2r\cos(90°-\beta)= \dfrac {\overline{AB}}{2r}
Aus sinβ=cos(90°β)\sin\beta=\cos(90°-\beta) (Satz 5220B) ergibt sich die Behauptung. \qed
 
 

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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