Peripheriewinkelsatz

Bei der Definition des Peripheriewinkels haben wir diese in der nebenstehenden Abbildung etwas lax beide mit $\beta$ bezeichnet ohne uns groß Gedanken darum zu machen, ob sie wirklich gleichgroß sind. Dies ist aber genau die Aussage des Peripheriewinkelsatzes.

Alle Peripheriwinkel (in der gleichen Halbebene) über dem gleichen Kreisbogen sind gleichgroß

Unter Zuhilfenahme des Zentri-Peripherie-Winkelsatzes ergibt sich die Behauptung sofort. Denn die Winkel $\angle ACB$ und $\angle ADB$ sind beide Peripheriwinkel zum gleichen Zentriwinkel $\alpha$. Sind also beide halb so groß wie $\alpha$ und damit untereinander gleich. $\qed$

Den Peripheriewinkelsatz kann man auch umkehren und damit zur Charakterisierung eines Kreises verwenden.

Über einer Strecke $\ovl {AB}$ werden die Punkte $C$ und $D$ so gewählt, dass sie in einer Halbebene liegen und $\angle ACB=\angle ADB$. Dann liegen die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ auf einem Kreis.

Wir bilden den Kreis $k$ um die Punkte $A$, $B$ und $C$. Angenommen $D$ liegt nicht auf diesem Kreis. Dann gibt es einen Punkt $P$, der auf der Geraden durch $A$ und $D$ liegt und den Kreis $k$ schneidet. Nach dem Peripheriewinkelsatz ist nun aber $\angle ACB=\angle APB=\angle ADB$. Die Dreiecke $\Delta ABP$ und $\Delta ABD$ sind kongruent, da sie in einer Seite und 3 Winkeln übereinstimmen und müssen sogar identisch übereinander liegen, da sie zwei gemeinsame Punkte haben. Damit müssen aber die Punkte $P$ und $D$ übereinstimmen, im Widerspruch zur Annahme, dass $D$ nicht auf dem Kreis $k$ liegt. $\qed$

Um Peripheriewinkel zu berechnen kann man sich folgende Beziehung zu Nutze machen:

wobei $r$ der Radius des Kreises ist.

Sei $\beta$ der Peripheriwinkel und $\alpha$ der zugehörige Zentriwinkel. Nach dem Zentri-Peripheri-Winkelsatz gilt: $\alpha=2\beta$.

Der Punkt $F$ ist der Lotfußpunkt von $M$ auf $\overline{AB}$. Wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks $\Delta ABM$ halbiert das Lot den Winkel $\alpha$.

Dann gilt nach dem Innenwinkelsatz $\dfrac\alpha 2 + \gamma =90°$ also $\beta + \gamma=90°$ und damit ist: $\gamma=90°-\beta$.

Der Punkt $F$ halbiert $\overline{AB}$ also erhalten wir mit der Definition des Cosinus: $\cos \gamma=\dfrac {\overline{AB}/2}{\overline{AM}}$; also $\cos(90°-\beta)= \dfrac {\overline{AB}}{2r}$

Aus $\sin\beta=\cos(90°-\beta)$ (Satz 5220B) ergibt sich die Behauptung. $\qed$