Gruppen

Eine Gruppe \(\displaystyle \bm G=(G,\circ)\) besteht aus einem Grundbereich \(\displaystyle G\) und einer binären Operation \(\displaystyle \circ: G \times G \rightarrow G\), die je zwei Elementen \(\displaystyle a,b \in G\) ein Element \(\displaystyle a \circ b\) zuordnet. Dabei sollen folgende Eigenschaften gelten:
  1. Assoziativität \(\displaystyle a \circ (b \circ c) = (a \circ b)\circ c\) für alle \(\displaystyle a,b,c \in G\)
  2. Existenz eines neutralen Elements (Einselement) \(\displaystyle \exists e\in G: e\circ a= a\circ e=a\) für alle \(\displaystyle a\in G\)
  3. Existenz inverser Elemente \(\displaystyle \forall a\in G: \exists a' \in G : a \circ a'= a' \circ a = e\)
Man schreibt für das inverse Element \(\displaystyle a'\) auch \(\displaystyle a^\me\) in Anlehnung an die Multiplikation der reellen Zahlen.
Anschaulich beschreibt eine Gruppe eine Menge mit einer Rechenoperation. Für diese Rechenoperation gelten einige Eigenschaften, die die Bezeichnung Rechenoperation erst sinnvoll erscheinen lassen.
 
 

Satz 5827A (Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element)

In einer Gruppe sind das neutrale Element und das inverse Element eines Gruppenelements eindeutig bestimmt.

Beweis

Obwohl wir in der Definition lediglich die Existenz eines neutralen Elements fordern, ist es auch eindeutig bestimmt. Denn, wenn \(\displaystyle e'\) ein zweites neutrales Element mit \(\displaystyle e' \neq e\) ist, dann gilt \(\displaystyle e=e\circ e'=e'\), was im Widerspruch zu unserer Behauptung ist.
Analog ist auch das inverse Element immer eindeutig bestimmt. Seien \(\displaystyle a'\) und \(\displaystyle \overline a\) inverse Elemente zu einem \(\displaystyle a\in G\), wobei gelte \(\displaystyle a'\neq \overline a\). Es gilt \(\displaystyle a \circ a' = e\) und somit auch \(\displaystyle \overline a \circ a \circ a'=\overline a\circ e=\overline a\), also \(\displaystyle (\overline a \circ a) \circ a'=\overline a\) und da \(\displaystyle \overline a\) inverses Element zu \(\displaystyle a\) ist \(\displaystyle \overline a \circ a=e\) und damit gilt \(\displaystyle a'=\overline a\), im Widerspruch zur Annahme \(\displaystyle a'\neq \overline a\). \(\displaystyle \qed\)
Die Anzahl der Elemente nennt man Ordnung der Gruppe und bezeichnet sie mit \(\displaystyle \ord(G)\). Ist die Ordnung endlich so heißt die Gruppe endlich, andernfalls heißt sie unendlich.

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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