Analysis

Die Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.
Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.
Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.
Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.
 
 

Differentialrechnung

Bei einer linearen Funktion bzw. einer Geraden
g(x)=mx+c g(x) = mx + c
heißt mm die Steigung und cc der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte (x0,y0)(x_0, y_0) und (x1,y1)(x_1, y_1) auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch
m=y0−y1x0−x1 m = \dfrac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} .
Bei nicht linearen Funktionen wie z.B. f(x)=x2f(x) = x^2 kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese eine Kurve beschreiben und somit keine Gerade ist. Jedoch kann man an einen Punkt (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle x0x_0 berechnen kann. Wählt man jetzt eine Stelle x1x_1 ganz nahe bei x0x_0 und legt eine Gerade durch die Punkte (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) und (x1,f(x1))(x_1, f(x_1)), so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist
m=f(x0)−f(x1)x0−x1 m = \dfrac{f(x_0) - f(x_1)}{x_0 - x_1} .
Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x1x_1 immer weiter an x0x_0 annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben
f′(x0)=lim⁡x→x0f(x0)−f(x)x0−x f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x}
und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von ff in x0x_0. Der Ausdruck lim⁡x→x0\lim_{x\rightarrow x_0} bedeutet, dass xx immer weiter an x0x_0 angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen xx und x0x_0 unendlich klein wird. Wir sagen auch: "xx geht gegen x0x_0". Die Bezeichnung lim⁡\lim steht für Limes.
f′(x0)f^\prime (x_0) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.
Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion ff heißt differenzierbar an der Stelle x0x_0, wenn der Grenzwert f′(x0)f^\prime (x_0) existiert.

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.
∫abf(x) dx:=lim⁡n→∞b−an∑i=0n−1f(a+ib−an) \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx := \lim_{n \to \infty} \dfrac{b-a}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\braceNT{a+i \dfrac{b-a}{n}}
Die obige Folge konvergiert, falls ff gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem so genannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird.
In der so genannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis invers zueinander.
(ddx)(∫f(x)dx)=∫((ddx)f(x))dx=f(x) \over{d}{ dx} \braceNT{\int\limits f(x) dx}= \int\limits\braceNT{\over{d}{ dx}f(x)}dx = f(x)
Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine reichere mathematische Vielfalt.

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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