Funktionen mehrerer Veränderlicher

Die Definition reeller Funktionen kann auf mehrere Veränderliche erweitert werden. Bei \(\displaystyle n\) Veränderlichen ist der Definitionsbereich \(\displaystyle D\) eine Teilmenge des \(\displaystyle \Rn\). Durch eine Funktion \(\displaystyle f\) wird dabei einem n-Tupel des \(\displaystyle \Rn\) eine reelle Zahl zugeordnet. Man schreibt:
\(\displaystyle f:\Rn\supseteq D\to \R\)
Die Punktemenge \(\displaystyle D\) heißt der Definitionsbereich der Funktion \(\displaystyle f\) und wird mit \(\displaystyle D(f)\) bezeichnet. Alle \(\displaystyle y\in\R\), die als Funktionswerte auftreten bilden den Wertebereich der Funktion \(\displaystyle f\) und dieser wird mit \(\displaystyle W(f)\) bezeichnet.
Wenn \(\displaystyle x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) schreibt man für den Funktionswert
(1)
\(\displaystyle y:=f(x)=f(x_1,x_2,\dots,x_n)\).
Eine Funktion braucht nicht explizit wie in (1) gegeben zu sein sondern kann auch implizit durch eine Gleichung der Form \(\displaystyle F(x_1,x_2,\dots,x_n,y)=0\) definiert werden.
 
 

Beispiel 165O

x2y2.png
Sei \(\displaystyle f:\domRZwei\to\R\) durch folgende Gleichung gegeben
\(\displaystyle f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\)
Der Definitionsbereich von \(\displaystyle f\) ist der gesammte \(\displaystyle \domRZwei\), also \(\displaystyle D(f)=\domRZwei\). Als Werte können nur nichtnegative reelle Zahlen auftreten, also \(\displaystyle W(f)=[0,\infty [\).

Spezialfall \(\displaystyle \R^2\)

Für Funktionen \(\displaystyle f: \R^2\to\R\) weicht man von der indizierten Tupelschreibweise ab und benutzt auch \(\displaystyle z=f(x,y)\) anstelle von \(\displaystyle y=f(x_1,x_2)\).

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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