Punktfolgen

Eine Abbildung \(\displaystyle \phi: \N\to\Rn\) heißt eine Punktfolge. Man schreibt die Glieder der Punktfolge \(\displaystyle x^1,x^2,\dots,x^k,\dots\) mit hochgestellten Indizes und für die Folge \(\displaystyle \phi\) schreibt man dann \(\displaystyle (x^k)\). Das \(\displaystyle k\)-te Folgenglied in Tupelschreibweise wird dann
\(\displaystyle x^k=(x_1^k,x_2^k,\dots,x_n^k)\)
geschrieben.
Eine Punktfolge \(\displaystyle (x^k)\) heißt beschränkt, wenn ihr Wertevorrat \(\displaystyle \{x^k| k\in\N\}\) beschränkt ist.
Ein \(\displaystyle g\in\Rn\) heißt Grenzwert der Folge \(\displaystyle (x^k)\), wenn
\(\displaystyle \lim_{k\to\infty} ||x^k-g||=0\)
gilt; d.h. der Abstand zwischen den Folgengliedern \(\displaystyle x^k\) und \(\displaystyle g\) bildet eine Nullfolge. Die Folge heißt dann auch konvergent. Besitzt eine Punktfolge keinen (endlichen) Grenzwert so heißt sie divergent.
Konvergiert eine Folge \(\displaystyle x^k\) gegen einen Grenzwert \(\displaystyle g\) (Schreibweise: \(\displaystyle x^k\to g\)) so liegen in jeder \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung von \(\displaystyle g\) fast alle Folgenglieder und außerhalb nur endlich viele.
 
 

Satz 165M

Eine Punktfolge \(\displaystyle (x^k)\) des \(\displaystyle \Rn\) konvergiert genau dann, wenn sie koordinatenweise konvergiert, also alle Folgen \(\displaystyle (x_j^k)\) für \(\displaystyle j=1\dots n\) konvergieren.

Bemerkung 165N

Der Satz 165M rechtfertigt, alle Ergebnisse der Konvergenz von Zahlenfolgen auf Punktfolgen des \(\displaystyle \Rn\) zu übertragen.
Insbesondere gilt das Cauchysche Konvergenzkriterium. Damit ist der \(\displaystyle \Rn\) ein vollständiger metrischer Raum.

Beispiel

Die Folge \(\displaystyle (x_1^k,x_2^k)=\braceNT{\dfrac 1 k, \dfrac k {k+1}}\) konvergiert gegen \(\displaystyle (0,1)\), denn \(\displaystyle \lim_{k\to\infty} \dfrac 1 k=0\) und \(\displaystyle \lim_{k\to\infty} \dfrac k {k+1}=1\).
Die Folge \(\displaystyle (x_1^k,x_2^k)=\braceNT{\dfrac 1 k, k }\) ist divergent, da \(\displaystyle (x_2^k)\) nicht konvergiert.

Wir Mathematiker sind die wahren Dichter, nur müssen wir das, was unsere Phantasie schafft, noch beweisen.

Leopold Kronecker

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