Differentialgleichungen

Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit DGL) ist eine Gleichung, die die Ableitungen einer Funktion enthält.
Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:
  • in der Physik verschiedene Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das Belastungsverhalten von Bauteilen,
  • in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der Sonne,
  • in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln,
  • in der Chemie die Reaktionskinetik von Reaktionen.
 
 

Lösungsmethodik von Differentialgleichungen

Um eine DGL zu lösen (in diesem Kontext spricht man auch von integrieren, bei der Lösung auch vom Integral), muss eine Funktion \(\displaystyle y \) gefunden werden, die mit ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Die dazu notwendige Methodik ist für jeden Gleichungstyp verschieden und beschäftigt die Mathematiker seit dem 17. Jahrhundert. Auch die Eigenschaften dieser Lösung(en) hängen vom Gleichungstyp ab – z.B. die Frage, ob es Mehrdeutigkeiten gibt oder ob überhaupt eine Lösung existiert.
Als einfaches, lineares Beispiel möge die Differentialgleichung
\(\displaystyle y + y = 0 \)
dienen. Die Suche nach der Funktion, welche die DGL erfüllt, kann nach einem Standardverfahren erfolgen und ergibt die allgemeine Lösung
\(\displaystyle y = A \cos{x} + B \sin{x} \),
worin die Konstanten \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) aus den Randbedingungen folgen (siehe Pendelgleichung)
Wenn eine längere DGL linear ist, wird sie in kürzere Gleichungen zerlegt und deren einzelne Lösungen addiert. Dieses Verfahren wird oft auch als Trennung der Variablen bzw. Trennung der Veränderlichen bezeichnet.
Nichtlineare Gleichungen können zwar nicht auf diese einfache Art zerlegt werden, doch findet man verschiedene Techniken in Formelsammlungen oder in mathematischen Computerprogrammen. Nicht jede Differentialgleichung hat eine analytische Lösung, gerade unter den nichtlinearen Differentialgleichungen findet man viele, die nicht integrabel sind.
Oft werden auch Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung gesucht, die auf dem Rand des Definitionsbereiches bestimmte Funktionswerte annehmen sollen. Diese wichtige Klasse von Problemstellungen wird unter dem Begriff Randwertprobleme (RWP) oder Randwertaufgabe (RWA) behandelt.

Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

Die in der Differentialgleichung gesuchte Funktion \(\displaystyle f\) kann von einer Variablen \(\displaystyle x\) oder mehreren (\(\displaystyle x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung. Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern. Aus dem Englischen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary differential equation) und PDE (partial differential equation) für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen benutzt.
Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen. Solche Systeme liegen vor, wenn in mehreren Gleichungen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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