Die Pendelgleichung

Die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

ist in der Physik als Pendelgleichung bekannt. Wir können an dieser DGL exemplarisch das Vorgehen bei homogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten verdeutlichen.

Wir lösen (1) mit dem Ansatz $y=\e^{\lambda x}$; $y'=\lambda\e^{\lambda x}$; $y''=\lambda^2\e^{\lambda x}$.

Eingesetzt ergibt dies Wegen $\e^{\lambda x}>0$ kann diese Gleichung nur für erfüllt werden. (2) ist das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

Für $k<0$ erhalten wir die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung (2) $\lambda_{1,2}=\pm\sqrt {-k}$; was für die DGL zu den beiden Lösungen $y_1=\e^{\lambda_1 x}$ und $y_2=\e^{\lambda_2 x}$ führt. Die allgemeine Lösung ergibt sich als alle Linearkombinationen von $y_1$ und $y_2$ durch wobei $C_1$ und $C_2$ beliebige Konstanten sind, die sich gegebenenfalls aus den Anfangsbedingungen bestimmen lassen.

Für $k=-4$ ergibt sich die DGL und wir erhalten dann die beiden Lösungen $y_1=\e^{2x}$ und $y_2=\e^{-2x}$. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist eine beliebige Linearkombination der beiden speziellen Lösungen und hat die Form

Durch Einsetzen überzeugt man sich schnell davon, dass es sich bei (4) um die allgemeine Lösung der DGL (3) handelt. Bei zwei vorgegebenen Anfangswerten wie $y(0)=1$ und $y'(0)=0$, können die beiden Parameter $a$ und $b$ eliminiert werden:

$1=a+b$ und $y'=2a\e^{2x}-2b\e^{-2x}$ $\implies$ $0=2a-2b$; ergibt $a=b=\dfrac 1 2$, und die spezielle Lösung ist $y=\dfrac 1 2\e^{2x}+\dfrac 1 2\e^{-2x}$.

Für $k>0$ können wir die quadratische Gleichung (2) im Reellen nicht lösen. Dennoch ist eine analoge Vorgehensweise möglich, indem wir mit komplexen Werten $\lambda$ rechnen. Durch die Eulersche Formel $z=|z|(\cos\phi +\i\sin\phi)=|z|\e^{\i\phi}$ werden dann die Exponentialfunktionen in trigonometrische Funktionen umgewandelt.

$y''+y=0$ $\implies$ $\lambda^2+1=0$ $\implies$ $\lambda_{1,2}=\pm \i$

$y_1=\e^{\i x}=\cos x+\i\sin x$; $y_2=\e^{-\i x}=\cos x-\i\sin x$

Die allgemeine Lösung ist dann Da wir nur an reellen Lösungen interessiert sind, untersuchen wir für welche $a,b$ die Funktion reell wird. Mit $a=b$ erhalten wir $y_3=2a\cos x$ und mit $a=t\i=-b$ ergibt sich $y=(t\i-t\i)\cos x+(t\i-t\i)\i\sin x=-2t\sin x$. Auch $y_3$ und $y_4$ bilden ein Fundamentalsystem und wir erhalten als allgemeine reelle Lösung

Wir können die Konstanten $c$ und $d$ durch Anfangswerte bestimmen.

Für die Ausgangsgleichung $y''+y=0$ erhalten wir mit $y(0)=0$ und $y'(0)=2$ die Gleichung $0=c$ und wegen $y'=-c\, \sin x+d \cos x$ können wir $d$ durch $2=d$ bestimmen, woraus sich die spezielle Lösung $y=2\sin x$ ergibt.