Die Pendelgleichung

Die homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
(1)
y+ky=0y''+ky=0
ist in der Physik als Pendelgleichung bekannt. Wir können an dieser DGL exemplarisch das Vorgehen bei homogenen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten verdeutlichen.
Wir lösen (1) mit dem Ansatz y=eλxy=\e^{\lambda x}; y=λeλxy'=\lambda\e^{\lambda x}; y=λ2eλxy''=\lambda^2\e^{\lambda x}.
Eingesetzt ergibt dies
λ2eλx+keλx\lambda^2\e^{\lambda x}+k\e^{\lambda x}=eλx(λ2+k)=0=\e^{\lambda x}(\lambda^2+k) =0.
Wegen eλx>0\e^{\lambda x}>0 kann diese Gleichung nur für
(2)
λ2+k=0\lambda^2+k=0
erfüllt werden. (2) ist das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.
 
 

Reelle Lösungen

Für k<0k<0 erhalten wir die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung (2) λ1,2=±k\lambda_{1,2}=\pm\sqrt {-k}; was für die DGL zu den beiden Lösungen y1=eλ1xy_1=\e^{\lambda_1 x} und y2=eλ2xy_2=\e^{\lambda_2 x} führt. Die allgemeine Lösung ergibt sich als alle Linearkombinationen von y1y_1 und y2y_2 durch
C1eλ1x+C2eλ2xC_1e^{\lambda_1 x}+C_2\e^{\lambda_2 x},
wobei C1C_1 und C2C_2 beliebige Konstanten sind, die sich gegebenenfalls aus den Anfangsbedingungen bestimmen lassen.

Beispiel

Für k=4k=-4 ergibt sich die DGL
(3)
y4y=0y''-4y=0
und wir erhalten dann die beiden Lösungen y1=e2xy_1=\e^{2x} und y2=e2xy_2=\e^{-2x}. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist eine beliebige Linearkombination der beiden speziellen Lösungen und hat die Form
(4)
y=ae2x+be2xy=a\e^{2x}+b\e^{-2x}.
Durch Einsetzen überzeugt man sich schnell davon, dass es sich bei (4) um die allgemeine Lösung der DGL (3) handelt. Bei zwei vorgegebenen Anfangswerten wie y(0)=1y(0)=1 und y(0)=0y'(0)=0, können die beiden Parameter aa und bb eliminiert werden:
1=a+b1=a+b und y=2ae2x2be2xy'=2a\e^{2x}-2b\e^{-2x}     \implies 0=2a2b0=2a-2b; ergibt a=b=12a=b=\dfrac 1 2 , und die spezielle Lösung ist y=12e2x+12e2xy=\dfrac 1 2\e^{2x}+\dfrac 1 2\e^{-2x}.

Komplexe Lösungen

Für k>0k>0 können wir die quadratische Gleichung (2) im Reellen nicht lösen. Dennoch ist eine analoge Vorgehensweise möglich, indem wir mit komplexen Werten λ\lambda rechnen. Durch die Eulersche Formel z=z(cosφ+isinφ)=zeiφz=|z|(\cos\phi +\i\sin\phi)=|z|\e^{\i\phi} werden dann die Exponentialfunktionen in trigonometrische Funktionen umgewandelt.

Beispiel

y+y=0y''+y=0     \implies λ2+1=0\lambda^2+1=0     \implies λ1,2=±i\lambda_{1,2}=\pm \i
y1=eix=cosx+isinxy_1=\e^{\i x}=\cos x+\i\sin x; y2=eix=cosxisinxy_2=\e^{-\i x}=\cos x-\i\sin x
Die allgemeine Lösung ist dann
y=ay1+by2y=ay_1+by_2 =(a+b)cosx+(ab)isinx=(a+b)\cos x+(a-b)\i\sin x.
Da wir nur an reellen Lösungen interessiert sind, untersuchen wir für welche a,ba,b die Funktion reell wird. Mit a=ba=b erhalten wir y3=2acosxy_3=2a\cos x und mit a=ti=ba=t\i=-b ergibt sich y=(titi)cosx+(titi)isinx=2tsinxy=(t\i-t\i)\cos x+(t\i-t\i)\i\sin x=-2t\sin x. Auch y3y_3 und y4y_4 bilden ein Fundamentalsystem und wir erhalten als allgemeine reelle Lösung
y=cy3+dy4=ccosx+dsinxy=cy_3+dy_4= c\, \cos x+d \sin x
Wir können die Konstanten cc und dd durch Anfangswerte bestimmen.
Für die Ausgangsgleichung y+y=0y''+y=0 erhalten wir mit y(0)=0y(0)=0 und y(0)=2y'(0)=2 die Gleichung 0=c0=c und wegen y=csinx+dcosxy'=-c\, \sin x+d \cos x können wir dd durch 2=d2=d bestimmen, woraus sich die spezielle Lösung y=2sinxy=2\sin x ergibt.

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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