Exponentialfunktionen

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Graphen verschiedener Exponentialfunktionen
Die Exponentialfunktion zur Basis a>0, a≠1a > 0, \, a \neq 1 ist eine Funktion der Form x↦axx \mapsto a^x. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die Variable enthält, befindet sich bei Exponentialfunktionen die Variable im Exponenten; von daher auch die Namensgebung.
Eine spezielle Rolle spielt die Exponentialfunktion e⁡x \e^x mit der Basis e⁡\e (Eulersche Zahl), sie wird auch mit exp⁡(x)\exp (x) bezeichnet.
Unter Verwendung des Logarithmus lässt sich wegen der Identität ax=ex⋅ln⁡aa^x = e^{x\cdot\ln a} jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis e⁡\e zurückführen, weshalb wir im folgenden das Hauptaugenmerk auf die Exponentialfunktion zur Basis e⁡\e legen.
 
 

Definition

Die Exponentialfunktion (zur Basis e⁡\e) exp⁡:R⟶R\exp:\R\longrightarrow\R kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weise definiert werden. Zwei Möglichkeiten sind:
exp⁡(x)=∑n=0∞(xnn!)\exp(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \over{x^n }{ n!} (Definition als Potenzreihe, genannt Exponentialreihe)
exp⁡(x)=lim⁡n→∞(1+(xn))n\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n (Definition als Grenzwert einer Folge mit n∈Nn \in \N).
Die Exponentialfunktion exp⁡:R→R\exp:\R\to \R auf der reellen Zahlengeraden ist positiv und streng monoton wachsend. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ln⁡(x)\ln(x), der für alle positiven reellen Zahlen xx definiert ist.

Konvergenz der Reihe, Stetigkeit

Die Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe
exp⁡(x)=∑n=0∞(xnn!)\exp(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \over{x^n }{ n!}
lässt sich für alle reellen und komplexen x x \, einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbreiches stetig sind, ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt stetig.

Rechenregeln

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung exp⁡(x+y)=exp⁡(x)⋅exp⁡(y)\exp(x+y)=\exp(x) \cdot \exp(y) erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:
ax:=exp⁡(x⋅ln⁡a) a^x := \exp(x\cdot\ln a) bzw. ax:=ex⋅ln⁡a a^x:=e^{x\cdot\ln a}
für alle a>0 a > 0 \, und alle reellen oder komplexen x x \, .
Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und "verwandeln" Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Gesetze:
a0=1 a^0=1 \, und a1=a a^1=a \,
ax+y=ax⋅aya^{x+y}=a^x \cdot a^y
ax⋅y=(ax)ya^{x\cdot y}=(a^{x})^{y}
a−x=1ax=(1a)xa^{-x} = \dfrac{1}{a^x}=\braceNT{\dfrac{1}{a}}^x
ax⋅bx=(a⋅b)xa^x \cdot b^x=(a \cdot b)^x
Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen a a \, und b b \, und alle reellen oder komplexen xx. Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:
1a=a−1\dfrac{1}{a}=a^{-1}
apq=apq\sqrtN{q}{a^p}=a^\dfrac{p}{q}

Ableitung: die "natürliche" Bedeutung der Exponentialfunktion

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion leitet sich aus der Tatsache ab, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ergibt:
d⁡d⁡xexp⁡(x)=exp⁡(x) \dfrac{\d}{\d x} \exp(x) = \exp(x)
Wenn man zusätzlich
exp⁡(0)=1  \exp(0) = 1 \,
fordert, ist die Exponentialfunktion im Reellen sogar die einzige Funktion, die dies leistet. Somit kann man die Exponentialfunktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung definieren.
Allgemeiner folgt für a>0a>0 aus
ax=exp⁡(x⋅ln⁡a) a^x = \exp(x\cdot\ln a)
und der Kettenregel die Ableitung beliebiger exponentieller Funktionen:
d⁡d⁡xab⋅x=bln⁡a⋅ab⋅x \dfrac{\d}{\d x} a^{b\cdot x} = b\ln a \cdot a^{b\cdot x}
In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf "natürliche" Weise ins Spiel.

Numerische Berechnungsmöglichkeiten

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Berechnung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.
Der Rest der NN-ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf
ex=1+∑k=1Nxkk!+xN+1(N+1)! rN(x)e^x = 1 + \sum\limits_{k=1}^N \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{x^{N+1}}{(N+1)!} \, r_N(x) bei ∣rN(x)∣<2\vert r_N(x) \vert < 2
für alle xx mit ∣x∣<0,5N+1\vert x \vert < 0{,}5 N+1 führt.
Die einfachste Reduktion benutzt die Identität exp⁡(2z)=exp⁡(z)2\exp(2z) = \exp(z)^2 , d.h. zu gegebenem xx wird z:=2−K⋅xz := 2^{-K} \cdot x bestimmt, wobei KK nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit, yK≈ezy_K \approx e^z berechnet und KK-fach quadriert: yn−1:=yn2y_{n-1} := y_n^2. y0y_0 wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als exp⁡(x)\exp(x) zurückgegeben.
Effizientere Verfahren setzen voraus, dass ln⁡(2)\ln(2), besser zusätzlich ln⁡(3)\ln(3) und ln⁡(5)\ln(5) (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten
ex=2k⋅ex−k⋅ln⁡(2)e^x = 2^k \cdot e^{x-k \cdot \ln(2)} oder ex=2k⋅3l⋅5mex−k⋅ln⁡(2)−l⋅ln⁡(3)−m⋅ln⁡(5)e^x = 2^k \cdot 3^l \cdot 5^m e^{x-k \cdot \ln(2)-l \cdot \ln(3)-m \cdot \ln(5)}
benutzt werden, um xx auf ein yy aus dem Intervall [−0,4 ; 0,4][-0{,}4 \, ; \, 0{,}4] oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwendigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Hintergründe und Beweise

Funktionalgleichung

Da (1+xn)n\braceNT{1+\dfrac{x}{n}}^n und (1+yn)n\braceNT{1+\dfrac{y}{n}}^n konvergieren, konvergiert auch deren Produkt
(1+xn)n(1+yn)n=(1+x+yn+xyn2)n=(1+x+yn)n(1+xyn2+n(x+y))n\braceNT{1+\dfrac{x}{n}}^n \braceNT{1+\dfrac{y}{n}}^n= \braceNT{1+\dfrac{x+y}{n}+\dfrac{xy}{n^2}}^n=\braceNT{1+\dfrac{x+y}{n}}^n\braceNT{1+\dfrac{xy}{n^2+n(x+y)}}^n.
Ist nun xy<0xy<0, so liefert die Bernoullische Ungleichung für hinreichend große nn
1≥(1+xyn2+n(x+y))n≥1+xyn+x+y→11\ge\braceNT{1+\dfrac{xy}{n^2+n(x+y)}}^n\ge 1+\dfrac{xy}{n+x+y}\to 1;
für xy>0xy>0 erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung 1+u≤11−u1+u\le \dfrac{1}{1-u} für u<1u<1 und ebenfalls der Bernoullischen Ungleichung für hinreichend große nn
1≤(1+xyn2+n(x+y))n1\le \braceNT{1+\dfrac{xy}{n^2+n(x+y)}}^n ≤1(1−xyn2+n(x+y))n \le\dfrac{1}{\braceNT{1-\dfrac{xy}{n^2+n(x+y)}}^n} ≤11−xyn+x+y→1 \le \dfrac{1}{1-\dfrac{xy}{n+x+y}}\to 1,
die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y)\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y).

Ungleichungen

Abschätzung nach unten

Für reelle xx lässt sich die Exponentialfunktion mit
exp⁡(x)>0 \exp(x)> 0 \,
nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition
exp⁡(x)=lim⁡n→∞(1+(xn))n\exp(x) = \lim_{n \to \infty} \braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n
und der Tatsache, dass 1+(xn)>0 1 + \over{x }{ n}> 0 für hinreichend große n n \, . Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null.
Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung
exp⁡(x)≥1+x\exp(x)\geq 1+x
verschärfen. Für x≤−1x\leq-1 folgt sie aus exp⁡(x)≥0\exp(x)\geq 0, für x≥−1x\geq -1 ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die Bernoullische Ungleichung auf die Definition
exp⁡(x)=lim⁡n→∞(1+(xn))n \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n
anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge (1+(xn))n\braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach oben

Aus der einfach zu zeigenden Ungleichung 1+u≤11−u1+u\le \dfrac{1}{1-u} für u<1u<1 und der Bernoullischen Ungleichung erhält man für reelle x<1x < 1 und nn hinreichend groß eine Abschätzung nach oben:
(1+(xn))n\braceNT{ 1 + \over{x }{ n} }^n ≤1(1−(xn))n \le \dfrac{1}{\braceNT{ 1 - \over{x }{ n} }^n} ≤11−x \le \dfrac{1}{1-x},
also
exp⁡(x)≤11−x\exp(x)\le\frac{1}{1-x}

Ableitung der Exponentialfunktion

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:
1=lim⁡h→01+h−1h1=\lim_{h\to 0}\dfrac{1+h-1}{h} ≤lim⁡h→0exp⁡(h)−1h \le\lim_{h\to 0}\dfrac{\exp(h)-1}{h} ≤lim⁡h→011−h−1h \le\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{1-h}-1}{h} =lim⁡h→011−h=1 =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{1-h}=1.
Gemeinsam mit der Funktionalgleichung exp⁡(x+y)=exp⁡(x)exp⁡(y)\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y) folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:
exp⁡′(x)=lim⁡h→0exp⁡(x+h)−exp⁡(x)h\exp'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{\exp(x+h)-\exp(x)}{h} =exp⁡(x)lim⁡h→0exp⁡(h)−1h=exp⁡(x)  =\exp(x)\lim_{h\to 0}\dfrac{\exp(h)-1}{h}=\exp(x)\,

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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