Exponentialreihe

TExp.png
Funktionen zu den ersten Gliedern der Exponentialreihe
Sei x∈Rx\in\R beliebig. Wir betrachten die Exponentialreihe
E(x):=∑n=0∞xnn!E(x):=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}
Behauptung: Die Exponentialreihe konvergiert für alle x∈Rx\in\R.

Beweis

Für x=0x=0 verschwinden alle xnx^n bis auf (x0=1x^0=1), daher ist die Reihe absolut konvergent mit E(0)=1E(0)=1.
Für x≠0x \ne 0 können wir das Quotientenkriterium verwenden. Wir setzen an:=xnn!a_n:=\dfrac{x^n}{n!} und es gilt ∣an+1an∣\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=∣xn+1(n+1)!xnn!∣=\left|\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{x^n}{n!}}\right|=∣x∣⋅n!(n+1)!=∣x∣n+1→0<1= |x|\cdot\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{|x|}{n+1}\to 0<1 für n→∞n\to\infty.
Also konvergiert die Exponentialreihe für alle x∈R\displaystyle{{x}\in\mathbb{R}}.

Satz 16M0 (Eigenschaften der Exponentialreihe)

  1. E(0)=1E(0)=1; E(1)=eE(1)=e
  2. E(x)>0E(x)>0 ∀x∈R\forall x\in\R
  3. E(x+y)=E(x)E(y)E(x+y)=E(x)E(y) ∀x,y∈R\forall x,y\in\R
    Mit Induktion: E(x1+⋯+xl)=E(x1)⋅⋯⋅E(xl)E(x_1+\cdots+x_l)=E(x_1)\cdot \cdots \cdot E(x_l) ∀x1,…,xl∈R\forall x_1,\ldots,x_l\in\R
  4. E(−x)=1E(x)E(-x)=\dfrac{1}{E(x)} ∀x∈R\forall x\in\R
  5. E(r)=erE(r)=e^r ∀r∈Q \forall r\in\Q
  6. x<y⇒E(x)<E(y)x<y\Rightarrow E(x)<E(y) ∀x,y∈R\forall x,y\in\R

Beweis

(i) E(0)=1E(0)=1 trivial und E(1)=∑n=0∞1n!=eE(1)=\sum\limits\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}=e (eulersche Zahl).
(iii) E(x)⋅E(y)E(x)\cdot E(y)=(∑n=0∞xnn!)⋅(∑n=0∞ynn!)=∑n=0∞cn=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{y^n}{n!}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n Cauchy-Produkt mit cn=∑k=0nxkk!⋅yn−k(n−k)!c_n=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}\cdot\dfrac{y^{n-k}}{(n-k)!} =1n!⋅∑k=0nn!k!(n−k)!xkyn−k=\dfrac{1}{n!}\cdot\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k} =1n!⋅∑k=0n(nk) xkyn−k=\dfrac{1}{n!}\cdot\sum\limits_{k=0}^n\binom n k\,x^ky^{n-k}=1n!(x+y)n=\dfrac{1}{n!} (x+y)^n (Binomischer Satz) ⇒  E(x)⋅E(y)=∑n=0∞(x+y)nn!=E(x+y)\Rightarrow\; E(x)\cdot E(y)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(x+y)^n}{n!}=E(x+y).
(ii) :E(x)=E(x2+x2)=(E(x2))2>0E(x)=E\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=\left(E\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2>0.
(iv) 1=E(0)=E(x+(−x))=E(x)⋅E(−x)1=E(0)=E(x+(-x))=E(x)\cdot E(-x) ⇒  E(x)¬=0\Rightarrow\; E(x)\not=0 und E(−x)=1E(x)E(-x)=\dfrac{1}{E(x)}.
(v) Für alle n∈Nn\in\N: E(n)=E(1+1+⋯+1⎵n-mal)E(n)=E(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{-mal}})=E(1)⋅E(1)⋯E(1)=E(1)n=en=E(1)\cdot E(1) \cdots E(1)=E(1)^n=e^n. Ferner: e=E(1)=E(1n+1n+⋯+1n)⎵n-male=E(1)=E\underbrace{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)}_{n\text{-mal}}=E(1n)⋯E(1n)⎵n-mal=E(1n)n=\underbrace{E\left(\dfrac{1}{n}\right)\cdots E\left(\dfrac{1}{n}\right)}_{n\text{-mal}} =E\left(\dfrac{1}{n}\right)^n ⇒  e1n=E(1n)\Rightarrow\; e^\dfrac{1}{n}=E\left(\dfrac{1}{n}\right). Also für alle r=nm∈Qr=\dfrac{n}{m}\in\Q mit m,n∈Nm,n\in\N: E(nm)=E(1m+1m+⋯+1m)⎵n- malE\left(\dfrac{n}{m}\right)=E\underbrace{\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m}+\cdots+\dfrac{1}{m}\right)}_{n\text{- mal}}=E(1m)⋯E(1m)⎵n -mal=\underbrace{E\left(\dfrac{1}{m}\right)\cdots E\left(\dfrac{1}{m}\right)}_{n\text{ -mal}}=E(1m)n=(e1m)n=enm=E\left(\dfrac{1}{m}\right)^n=\left(e^\frac{1}{m}\right)^n=e^\frac{n}{m}
Schließlich gilt für alle r∈Qr\in\Q: r>0⇒  E(r)=err>0\Rightarrow\; E(r)=e^r.
Für r<0r<0 ist −r>0⇒E(−r)=e−r=1er-r>0\quad\Rightarrow\quad E(-r)=e^{-r}=\dfrac{1}{e^r} ⇒  E(r)=er\Rightarrow\; E(r)=e^r.
Falls r=0r=0 ⇒  E(0)=1=e0\Rightarrow\; E(0)=1=e^0.
(vi) Schließlich seien x,y∈Rx,y\in\R und x<yx<y, also y−x>0y-x>0 und damit
E(y−x)=∑n=0∞(y−x)nn!E(y-x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(y-x)^n}{n!}=1+∑n=1∞(y−x)nn!⎵>0>1=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\dfrac{(y-x)^n}{n!}}_{>0}>1
Andererseits ist E(y−x)=E(y)⋅E(−x)E(y-x)=E(y)\cdot E(-x)=E(y)E(x)>1=\dfrac{E(y)}{E(x)}>1 ⇒  E(y)>E(x)\Rightarrow\; E(y)>E(x)
Also: ∀x,y∈R:x<y  ⇒  E(x)<E(y)\forall x,y\in\R : x<y\;\Rightarrow\; E(x)<E(y). □\qed

Ohne Beweis merken wir an, dass diese Reihe E(x)E(x) nicht nur für alle rationalen Zahlen, sondern auch für alle reellen Zahlen mit der Exponentialfunktion exe^x übereinstimmt. Denn die Exponentialreihe ist stetig und die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen (Satz 5224A).
 
 

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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