Exponentialreihe

TExp.png
Funktionen zu den ersten Gliedern der Exponentialreihe
Sei xRx\in\R beliebig. Wir betrachten die Exponentialreihe
E(x):=n=0xnn!E(x):=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}
Behauptung: Die Exponentialreihe konvergiert für alle xRx\in\R.

Beweis

Für x=0x=0 verschwinden alle xnx^n bis auf (x0=1x^0=1), daher ist die Reihe absolut konvergent mit E(0)=1E(0)=1.
Für x0x \ne 0 können wir das Quotientenkriterium verwenden. Wir setzen an:=xnn!a_n:=\dfrac{x^n}{n!} und es gilt an+1an\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=xn+1(n+1)!xnn!=\left|\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{x^n}{n!}}\right|=xn!(n+1)!=xn+10<1= |x|\cdot\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{|x|}{n+1}\to 0<1 für nn\to\infty.
Also konvergiert die Exponentialreihe für alle xR\displaystyle{{x}\in\mathbb{R}}.
 
 

Satz 16M0 (Eigenschaften der Exponentialreihe)

  1. E(0)=1E(0)=1; E(1)=eE(1)=e
  2. E(x)>0E(x)>0 xR\forall x\in\R
  3. E(x+y)=E(x)E(y)E(x+y)=E(x)E(y) x,yR\forall x,y\in\R
    Mit Induktion: E(x1++xl)=E(x1)E(xl)E(x_1+\cdots+x_l)=E(x_1)\cdot \cdots \cdot E(x_l) x1,,xlR\forall x_1,\ldots,x_l\in\R
  4. E(x)=1E(x)E(-x)=\dfrac{1}{E(x)} xR\forall x\in\R
  5. E(r)=erE(r)=e^r rQ \forall r\in\Q
  6. x<yE(x)<E(y)x<y\Rightarrow E(x)<E(y) x,yR\forall x,y\in\R

Beweis

(i) E(0)=1E(0)=1 trivial und E(1)=n=01n!=eE(1)=\sum\limits\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}=e (eulersche Zahl).
(iii) E(x)E(y)E(x)\cdot E(y)=(n=0xnn!)(n=0ynn!)=n=0cn=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{y^n}{n!}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n Cauchy-Produkt mit cn=k=0nxkk!ynk(nk)!c_n=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}\cdot\dfrac{y^{n-k}}{(n-k)!} =1n!k=0nn!k!(nk)!xkynk=\dfrac{1}{n!}\cdot\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k} =1n!k=0n(nk)xkynk=\dfrac{1}{n!}\cdot\sum\limits_{k=0}^n\binom n k\,x^ky^{n-k}=1n!(x+y)n=\dfrac{1}{n!} (x+y)^n (Binomischer Satz)   E(x)E(y)=n=0(x+y)nn!=E(x+y)\Rightarrow\; E(x)\cdot E(y)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(x+y)^n}{n!}=E(x+y).
(ii) :E(x)=E(x2+x2)=(E(x2))2>0E(x)=E\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=\left(E\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2>0.
(iv) 1=E(0)=E(x+(x))=E(x)E(x)1=E(0)=E(x+(-x))=E(x)\cdot E(-x)   E(x)¬=0\Rightarrow\; E(x)\not=0 und E(x)=1E(x)E(-x)=\dfrac{1}{E(x)}.
(v) Für alle nNn\in\N: E(n)=E(1+1++1n-mal)E(n)=E(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{-mal}})=E(1)E(1)E(1)=E(1)n=en=E(1)\cdot E(1) \cdots E(1)=E(1)^n=e^n. Ferner: e=E(1)=E(1n+1n++1n)n-male=E(1)=E\underbrace{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)}_{n\text{-mal}}=E(1n)E(1n)n-mal=E(1n)n=\underbrace{E\left(\dfrac{1}{n}\right)\cdots E\left(\dfrac{1}{n}\right)}_{n\text{-mal}} =E\left(\dfrac{1}{n}\right)^n   e1n=E(1n)\Rightarrow\; e^\dfrac{1}{n}=E\left(\dfrac{1}{n}\right). Also für alle r=nmQr=\dfrac{n}{m}\in\Q mit m,nNm,n\in\N: E(nm)=E(1m+1m++1m)n- malE\left(\dfrac{n}{m}\right)=E\underbrace{\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m}+\cdots+\dfrac{1}{m}\right)}_{n\text{- mal}}=E(1m)E(1m)n -mal=\underbrace{E\left(\dfrac{1}{m}\right)\cdots E\left(\dfrac{1}{m}\right)}_{n\text{ -mal}}=E(1m)n=(e1m)n=enm=E\left(\dfrac{1}{m}\right)^n=\left(e^\frac{1}{m}\right)^n=e^\frac{n}{m}
Schließlich gilt für alle rQr\in\Q: r>0  E(r)=err>0\Rightarrow\; E(r)=e^r.
Für r<0r<0 ist r>0E(r)=er=1er-r>0\quad\Rightarrow\quad E(-r)=e^{-r}=\dfrac{1}{e^r}   E(r)=er\Rightarrow\; E(r)=e^r.
Falls r=0r=0   E(0)=1=e0\Rightarrow\; E(0)=1=e^0.
(vi) Schließlich seien x,yRx,y\in\R und x<yx<y, also yx>0y-x>0 und damit
E(yx)=n=0(yx)nn!E(y-x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(y-x)^n}{n!}=1+n=1(yx)nn!>0>1=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\dfrac{(y-x)^n}{n!}}_{>0}>1
Andererseits ist E(yx)=E(y)E(x)E(y-x)=E(y)\cdot E(-x)=E(y)E(x)>1=\dfrac{E(y)}{E(x)}>1   E(y)>E(x)\Rightarrow\; E(y)>E(x)
Also: x,yR:x<y    E(x)<E(y)\forall x,y\in\R : x<y\;\Rightarrow\; E(x)<E(y). \qed

Ohne Beweis merken wir an, dass diese Reihe E(x)E(x) nicht nur für alle rationalen Zahlen, sondern auch für alle reellen Zahlen mit der Exponentialfunktion exe^x übereinstimmt. Denn die Exponentialreihe ist stetig und die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen (Satz 5224A).

Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung.

Leonardo da Vinci

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