Exponentialreihe

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Funktionen zu den ersten Gliedern der Exponentialreihe
Sei xRx\in\R beliebig. Wir betrachten die Exponentialreihe
E(x):=n=0xnn!E(x):=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}
Behauptung: Die Exponentialreihe konvergiert für alle xRx\in\R.

Beweis

Für x=0x=0 verschwinden alle xnx^n bis auf (x0=1x^0=1), daher ist die Reihe absolut konvergent mit E(0)=1E(0)=1.
Für x0x \ne 0 können wir das Quotientenkriterium verwenden. Wir setzen an:=xnn!a_n:=\dfrac{x^n}{n!} und es gilt an+1an\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=xn+1(n+1)!xnn!=\left|\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{x^n}{n!}}\right|=xn!(n+1)!=xn+10<1= |x|\cdot\dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{|x|}{n+1}\to 0<1 für nn\to\infty.
Also konvergiert die Exponentialreihe für alle xR\displaystyle{{x}\in\mathbb{R}}.
 
 

Satz 16M0 (Eigenschaften der Exponentialreihe)

  1. E(0)=1E(0)=1; E(1)=eE(1)=e
  2. E(x)>0E(x)>0 xR\forall x\in\R
  3. E(x+y)=E(x)E(y)E(x+y)=E(x)E(y) x,yR\forall x,y\in\R
    Mit Induktion: E(x1++xl)=E(x1)E(xl)E(x_1+\cdots+x_l)=E(x_1)\cdot \cdots \cdot E(x_l) x1,,xlR\forall x_1,\ldots,x_l\in\R
  4. E(x)=1E(x)E(-x)=\dfrac{1}{E(x)} xR\forall x\in\R
  5. E(r)=erE(r)=e^r rQ \forall r\in\Q
  6. x<yE(x)<E(y)x<y\Rightarrow E(x)<E(y) x,yR\forall x,y\in\R

Beweis

(i) E(0)=1E(0)=1 trivial und E(1)=n=01n!=eE(1)=\sum\limits\limits_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}=e (eulersche Zahl).
(iii) E(x)E(y)E(x)\cdot E(y)=(n=0xnn!)(n=0ynn!)=n=0cn=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{y^n}{n!}\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n Cauchy-Produkt mit cn=k=0nxkk!ynk(nk)!c_n=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}\cdot\dfrac{y^{n-k}}{(n-k)!} =1n!k=0nn!k!(nk)!xkynk=\dfrac{1}{n!}\cdot\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{n!}{k!(n-k)!}x^ky^{n-k} =1n!k=0n(nk)xkynk=\dfrac{1}{n!}\cdot\sum\limits_{k=0}^n\binom n k\,x^ky^{n-k}=1n!(x+y)n=\dfrac{1}{n!} (x+y)^n (Binomischer Satz)   E(x)E(y)=n=0(x+y)nn!=E(x+y)\Rightarrow\; E(x)\cdot E(y)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(x+y)^n}{n!}=E(x+y).
(ii) :E(x)=E(x2+x2)=(E(x2))2>0E(x)=E\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=\left(E\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2>0.
(iv) 1=E(0)=E(x+(x))=E(x)E(x)1=E(0)=E(x+(-x))=E(x)\cdot E(-x)   E(x)¬=0\Rightarrow\; E(x)\not=0 und E(x)=1E(x)E(-x)=\dfrac{1}{E(x)}.
(v) Für alle nNn\in\N: E(n)=E(1+1++1n-mal)E(n)=E(\underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\text{-mal}})=E(1)E(1)E(1)=E(1)n=en=E(1)\cdot E(1) \cdots E(1)=E(1)^n=e^n. Ferner: e=E(1)=E(1n+1n++1n)n-male=E(1)=E\underbrace{\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)}_{n\text{-mal}}=E(1n)E(1n)n-mal=E(1n)n=\underbrace{E\left(\dfrac{1}{n}\right)\cdots E\left(\dfrac{1}{n}\right)}_{n\text{-mal}} =E\left(\dfrac{1}{n}\right)^n   e1n=E(1n)\Rightarrow\; e^\dfrac{1}{n}=E\left(\dfrac{1}{n}\right). Also für alle r=nmQr=\dfrac{n}{m}\in\Q mit m,nNm,n\in\N: E(nm)=E(1m+1m++1m)n- malE\left(\dfrac{n}{m}\right)=E\underbrace{\left(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{m}+\cdots+\dfrac{1}{m}\right)}_{n\text{- mal}}=E(1m)E(1m)n -mal=\underbrace{E\left(\dfrac{1}{m}\right)\cdots E\left(\dfrac{1}{m}\right)}_{n\text{ -mal}}=E(1m)n=(e1m)n=enm=E\left(\dfrac{1}{m}\right)^n=\left(e^\frac{1}{m}\right)^n=e^\frac{n}{m}
Schließlich gilt für alle rQr\in\Q: r>0  E(r)=err>0\Rightarrow\; E(r)=e^r.
Für r<0r<0 ist r>0E(r)=er=1er-r>0\quad\Rightarrow\quad E(-r)=e^{-r}=\dfrac{1}{e^r}   E(r)=er\Rightarrow\; E(r)=e^r.
Falls r=0r=0   E(0)=1=e0\Rightarrow\; E(0)=1=e^0.
(vi) Schließlich seien x,yRx,y\in\R und x<yx<y, also yx>0y-x>0 und damit
E(yx)=n=0(yx)nn!E(y-x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(y-x)^n}{n!}=1+n=1(yx)nn!>0>1=1+\sum\limits_{n=1}^\infty \underbrace{\dfrac{(y-x)^n}{n!}}_{>0}>1
Andererseits ist E(yx)=E(y)E(x)E(y-x)=E(y)\cdot E(-x)=E(y)E(x)>1=\dfrac{E(y)}{E(x)}>1   E(y)>E(x)\Rightarrow\; E(y)>E(x)
Also: x,yR:x<y    E(x)<E(y)\forall x,y\in\R : x<y\;\Rightarrow\; E(x)<E(y). \qed

Ohne Beweis merken wir an, dass diese Reihe E(x)E(x) nicht nur für alle rationalen Zahlen, sondern auch für alle reellen Zahlen mit der Exponentialfunktion exe^x übereinstimmt. Denn die Exponentialreihe ist stetig und die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen (Satz 5224A).

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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