Die Eurlersche Zahl e

Seien die Folgen \(\displaystyle a_n := \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) und \(\displaystyle b_n := \sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\). gegeben.
Der gemeinsame Grenzwert beider folgen heißt die Eulersche Zahl und wird mit \(\displaystyle e\) bezeichnet.
\(\displaystyle e=\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}\)
Es gilt \(\displaystyle e\approx 2,71828182845\ldots\).
Damit \(\displaystyle e\) wohldefiniert ist, müssen wir zeigen, dass die Folgen \(\displaystyle (a_n)\) und \(\displaystyle (b_n)\) konvergieren und ihr Grenzwert übereinstimmt.
 
 

Rechtfertigung der Definition

(i) \(\displaystyle b_n\) ist streng monoton wachsend:Für jedes \(\displaystyle n \in \N\) gilt:\(\displaystyle b_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} + \dfrac{1}{(n+1)!} > \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} = b_n\); Also ist \(\displaystyle (b_n)\) ist streng monoton wachsend.
(ii) \(\displaystyle b_n\) ist nach oben beschränkt:Für jedes \(\displaystyle n \in \N\) gilt: \(\displaystyle b_n = 1 + \underbrace{1}_{=\dfrac{1}{2^0}} + \underbrace{\dfrac{1}{2}}_{=\dfrac{1}{2^1}} + \underbrace{\dfrac{1}{2\cdot 3}}_{\leq \dfrac{1}{2^2}} + \cdots + \underbrace{\dfrac{1}{2\cdot 3\cdots n}}_{\leq \dfrac{1}{2^{n-1}}} \;\)\(\displaystyle <\; 1 + \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k \)Die geometrische Reihe hat die Summe
\(\displaystyle \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k \)\(\displaystyle = \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}} \)\(\displaystyle = 2 \cdot \left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\leq 2\cdot1 = 2\)
Also: \(\displaystyle b_n \leq 1+2 = 3\) für alle \(\displaystyle n \in \N\).
Da auch stets \(\displaystyle b_n>=1\), ist \(\displaystyle b_n\) beschränkt und wegen (i) und (ii) konvergiert \(\displaystyle b_n\) nach Satz 5225A. .
Setze \(\displaystyle b := \lim\limits_{n \to \infty} b_n\).
(iii) \(\displaystyle a_n\) ist nach unten beschränkt:Für jedes \(\displaystyle n \in \N\) gilt:\(\displaystyle a_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n{\geq} 1+n \cdot \dfrac{1}{n} = 2\) (Bernoullische Ungleichung)
(iv) \(\displaystyle a_n\) ist streng monoton wachsendWir zeigen mit der Bernoullischen Ungleichung, dass für alle \(\displaystyle n \in \N\) gilt: \(\displaystyle a_{n+1} > a_n\). \(\displaystyle a_{n+1} > a_n\;\;\)\(\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\left( 1 + \dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1} > \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\) \(\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} > \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n \) \(\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n} > \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n \) \(\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\left( \dfrac{(n+2)\cdot n}{(n+1)^2} \right)^n > \dfrac{n+1}{n+2}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow\;\;\left( 1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right)^n > \dfrac{n+1}{n+2} \) \(\displaystyle \Leftrightarrow\;\;{\left( 1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right)^n > 1 - \dfrac{1}{n+2}} \) Da \(\displaystyle \dfrac{1}{(n+1)^2}<=1\) können wir die Bernoullische Ungleichung anwenden:
\(\displaystyle \left( 1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right)^n \geq 1 - \dfrac{n}{(1+n)^2} \)
Bleibt noch zu zeigen:
\(\displaystyle 1 - \dfrac{n}{(1+n)^2} > 1 - \dfrac{1}{n+2} \)
d.h. \(\displaystyle \dfrac{n}{(1+n)^2} < \dfrac{1}{n+2}\quad\)\(\displaystyle \Leftrightarrow\quad (n+1)^2 > n \cdot (n+2)\quad\)\(\displaystyle \Leftrightarrow\quad n^2 +2\cdot n+1 > n^2 + 2\cdot n\), was aber wahr ist.
(v) Wir zeigen: für alle \(\displaystyle n \geq 2\) gilt: \(\displaystyle a_n < b_n\). \(\displaystyle a_n = \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n \)\(\displaystyle = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot \dfrac{1}{n^k} \) \(\displaystyle = 1+1+\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{1}{k!} \cdot \underbrace{\dfrac{n}{n}}_{=1} \cdot \underbrace{\dfrac{n-1}{n}}_{<1} \cdots \underbrace{\dfrac{n-k+1}{n}}_{<1} < b_n \)Aus (ii) folgt: \(\displaystyle a_n < 3\) für alle \(\displaystyle n \in \N\)
Nach Satz 5225A konvergiert dann \(\displaystyle (a_n)\); wir setzen: \(\displaystyle a := \lim\limits_{n \to \infty} a_n\) und wegen (v) folgt: \(\displaystyle a \leq b\).
Sei \(\displaystyle j \in \N\), \(\displaystyle j \geq 2\) fest. Für \(\displaystyle n \geq j\) gilt wie oben:\(\displaystyle a_n {\geq} {1+1+\sum\limits_{k=2}^j \dfrac{1}{k!} \cdot \underbrace{1 \cdot \left(1-\dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)}_{\to 1\;\; (n \to \infty)}} =: c_n \)Also: \(\displaystyle a_n \geq c_n\) und \(\displaystyle c_n \to b_j\) für \(\displaystyle n\to\infty\) \(\displaystyle \Rightarrow\quad a \geq b_j\).Da \(\displaystyle j\) beliebig und \(\displaystyle b_j \to b\;\;\Rightarrow\;\; a \geq b\;\;{\Rightarrow}\;\; a = b\). \(\displaystyle \qed\)
Nach diesem Beweis gilt \(\displaystyle 2<e<3\).

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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