Die Eurlersche Zahl e

Seien die Folgen an:=(1+1n)na_n := \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n und bn:=∑k=0n1k!b_n := \sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}. gegeben.
Der gemeinsame Grenzwert beider folgen heißt die Eulersche Zahl und wird mit ee bezeichnet.
e=lim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→∞∑k=0n1k!e=\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}
Es gilt e≈2,71828182845…e\approx 2,71828182845\ldots.
Damit ee wohldefiniert ist, müssen wir zeigen, dass die Folgen (an)(a_n) und (bn)(b_n) konvergieren und ihr Grenzwert übereinstimmt.

Rechtfertigung der Definition

(i) bnb_n ist streng monoton wachsend: Für jedes n∈Nn \in \N gilt: bn+1=∑k=0n1k!+1(n+1)!>∑k=0n1k!=bnb_{n+1} = \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} + \dfrac{1}{(n+1)!} > \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} = b_n; Also ist (bn)(b_n) ist streng monoton wachsend.
(ii) bnb_n ist nach oben beschränkt: Für jedes n∈Nn \in \N gilt: bn=1+1⎵=120+12⎵=121+12⋅3⎵≤122+⋯+12⋅3⋯n⎵≤12n−1  b_n = 1 + \underbrace{1}_{=\frac{1}{2^0}} + \underbrace{\dfrac{1}{2}}_{=\frac{1}{2^1}} + \underbrace{\dfrac{1}{2\cdot 3}}_{\leq \frac{1}{2^2}} + \cdots + \underbrace{\dfrac{1}{2\cdot 3\cdots n}}_{\leq \frac{1}{2^{n-1}}} \;<  1+∑k=0n−1(12)k<\; 1 + \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k Die geometrische Reihe hat die Summe
∑k=0n−1(12)k \sum\limits_{k = 0}^{n-1} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k =1−(12)n1−12= \dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}} =2⋅(1−(12)n)≤2⋅1=2= 2 \cdot \left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\leq 2\cdot1 = 2
Also: bn≤1+2=3b_n \leq 1+2 = 3 für alle n∈Nn \in \N.
Da auch stets bn>=1b_n>=1, ist bnb_n beschränkt und wegen (i) und (ii) konvergiert bnb_n nach Satz 5225A. .
Setze b:=lim⁡n→∞bnb := \lim\limits_{n \to \infty} b_n.
(iii) ana_n ist nach unten beschränkt: Für jedes n∈Nn \in \N gilt: an=(1+1n)n≥1+n⋅1n=2 a_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n{\geq} 1+n \cdot \dfrac{1}{n} = 2 (Bernoullische Ungleichung)
(iv) ana_n ist streng monoton wachsend Wir zeigen mit der Bernoullischen Ungleichung, dass für alle n∈Nn \in \N gilt: an+1>ana_{n+1} > a_n. an+1>an     a_{n+1} > a_n\;\;⇔    (1+1n+1)n+1>(1+1n)n\Leftrightarrow\;\;\left( 1 + \dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1} > \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n ⇔    (n+2n+1)n+1>(n+1n)n \Leftrightarrow\;\;\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} > \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n ⇔    (n+2n+1)(n+2n+1)n>(n+1n)n \Leftrightarrow\;\;\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n} > \left( \dfrac{n+1}{n} \right)^n ⇔    ((n+2)⋅n(n+1)2)n>n+1n+2 \Leftrightarrow\;\;\left( \dfrac{(n+2)\cdot n}{(n+1)^2} \right)^n > \dfrac{n+1}{n+2} ⇔    (1−1(n+1)2)n>n+1n+2 \Leftrightarrow\;\;\left( 1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right)^n > \dfrac{n+1}{n+2} ⇔    (1−1(n+1)2)n>1−1n+2 \Leftrightarrow\;\;{\left( 1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right)^n > 1 - \dfrac{1}{n+2}} Da 1(n+1)2<=1\dfrac{1}{(n+1)^2}<=1 können wir die Bernoullische Ungleichung anwenden:
(1−1(n+1)2)n≥1−n(1+n)2\left( 1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right)^n \geq 1 - \dfrac{n}{(1+n)^2}
Bleibt noch zu zeigen:
1−n(1+n)2>1−1n+2 1 - \dfrac{n}{(1+n)^2} > 1 - \dfrac{1}{n+2}
d.h. n(1+n)2<1n+2 \dfrac{n}{(1+n)^2} < \dfrac{1}{n+2}\quad⇔(n+1)2>n⋅(n+2)\Leftrightarrow\quad (n+1)^2 > n \cdot (n+2)\quad⇔n2+2⋅n+1>n2+2⋅n\Leftrightarrow\quad n^2 +2\cdot n+1 > n^2 + 2\cdot n, was aber wahr ist.
(v) Wir zeigen: für alle n≥2n \geq 2 gilt: an<bna_n < b_n. an=(1+1n)n a_n = \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n =∑k=0n(nk)⋅1nk= \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot \dfrac{1}{n^k} =1+1+∑k=2n1k!⋅nn⎵=1⋅n−1n⎵<1⋯n−k+1n⎵<1<bn = 1+1+\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{1}{k!} \cdot \underbrace{\dfrac{n}{n}}_{=1} \cdot \underbrace{\dfrac{n-1}{n}}_{<1} \cdots \underbrace{\dfrac{n-k+1}{n}}_{<1} < b_n Aus (ii) folgt: an<3a_n < 3 für alle n∈Nn \in \N
Nach Satz 5225A konvergiert dann (an)(a_n); wir setzen: a:=lim⁡n→∞ana := \lim\limits_{n \to \infty} a_n und wegen (v) folgt: a≤ba \leq b.
Sei j∈Nj \in \N, j≥2j \geq 2 fest. Für n≥jn \geq j gilt wie oben: an≥1+1+∑k=2j1k!⋅1⋅(1−1n)⋯(1−k−1n)⎵→1    (n→∞)=:cn a_n {\geq} {1+1+\sum\limits_{k=2}^j \dfrac{1}{k!} \cdot \underbrace{1 \cdot \left(1-\dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1-\dfrac{k-1}{n}\right)}_{\to 1\;\; (n \to \infty)}} =: c_n Also: an≥cna_n \geq c_n und cn→bjc_n \to b_j für n→∞n\to\infty ⇒a≥bj\Rightarrow\quad a \geq b_j. Da jj beliebig und bj→b    ⇒    a≥b    ⇒    a=bb_j \to b\;\;\Rightarrow\;\; a \geq b\;\;{\Rightarrow}\;\; a = b. □\qed
Nach diesem Beweis gilt 2<e<32<e<3.
 
 

Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.

N. Bourbaki

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