Häufungspunkte von Zahlenfolgen

Ein Punkt a∈Ra\in \domR heißt Häufungspunkt (oder auch Häufungswert) einer Zahlenfolge (an)(a_n), wenn in jeder ϵ\epsilon-Umgebung um aa unendlich viele Glieder der Folge liegen.

Beispiel

Die Folge an=(−1)n⋅1na_n=(\me)^n\cdot \dfrac 1 n hat den Häufungspunkt 00.
Wenn ϵ>0\epsilon>0 gegeben ist, gibt es nach Satz 5221B ein N∈NN\in\domN mit N>1ϵN>\dfrac 1 \epsilon, also 1N<ϵ\dfrac 1 N <\epsilon und −1N>−ϵ-\dfrac 1 N >-\epsilon. Für alle n≥Nn\geq N liegen dann alle ana_n in Uϵ(0)U_\epsilon(0).
00 ist der einzige Häufungspunkt der Folge. Sei a≠0a\neq 0. Wenn wir ϵ\epsilon genügend klein wählen (z.B. ϵ<∣a∣/4\epsilon<|a|/4), liegen in der ϵ\epsilon-Umgebung um aa nur endlich viele Glieder, da der Rest in der ϵ\epsilon-Umgebung um 00 liegt.

Beispiel 16BB

Eine Folge kann auch mehrere Häufungspunkte besitzen; z.B.
an=(−1)n⋅(1+1n)a_n=(\me)^n\cdot \braceNT{1+\dfrac 1 n}
hat die Häufungspunkte −1\me und 11.
Es ist sogar möglich, dass Folgen unendlich viele Häufungspunkte haben. Die Folge:
a1=0,9a_1=0,9, a2=1,9a_2=1,9
a3=0,99a_3=0,99, a4=1,99a_4=1,99, a5=2,99a_5=2,99
a6=0,999a_6=0,999, a7=1,999a_7=1,999, a8=2,999a_8=2,999, a9=3,999a_{9}=3,999, usw.
hat alle positiven natürlichen Zahlen als Häufungspunkte.
Schreibt man die rationalen Zahlen als Folge (was möglich ist, da sie abzählbar unendlich sind), so sind alle reellen Zahlen Häufungspunkte. Denn nach Satz 5224A enthält jede ϵ\epsilon-Umgebung um eine reelle Zahl unendlich viele rationale Zahlen.
 
 

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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