Natürliche Zahlen

Neben dem in der Zahlentheorie üblichen Aufbau der natürlichen Zahlen mittels der Peanoschen Axiome, können die natürlichen Zahlen N\dom N auch als Teilmenge der reellen Zahlen charakterisiert werden.

Induktive Mengen

I⊆RI \subseteq \R heißt induktiv   ⟺  \iff
  1. 0∈I0 \in I
  2. ∀x:  x∈I ⇒ x+1∈I\forall x:\; x \in I \,\Rightarrow\, x+1 \in I
Eine induktive Menge nach dieser Definition umfasst stets dass, was man anschaulich unter den natürlichen Zahlen versteht; sie kann jedoch auch größer sein. Es gibt z.B. eine induktive Menge II, so dass {12,32,…}⊆I\left\{\dfrac 1 2, \dfrac 3 2,\ldots\right\}\subseteq I ist. J:={I:I⊂RIJ:=\{I:I \subset \R \quad I ist induktiv} \} entspricht der Menge aller induktiven Mengen aus R\R.
Man definiert die natürlichen Zahlen N\N als Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von R\R.
N:=⋂J:=⋂I∈JI={x∈R:∀I∈J:x∈I}\N := \bigcap\limits J := \bigcap\limits_{I \in J} I = \{x \in \R : \forall I \in J : x \in I\} (1)
 
 

Satz 16HP (Die natürlichen Zahlen als kleinste induktive Teilmenge)

Die Menge N\N in (1) ist die kleinste induktive Teilmenge von N\N.

Beweis

Wegen A∈JA \in J und N=⋂I∈JI⊆A\N=\bigcap\limits_{I \in J} I \subseteq A, genügt es zu zeigen, dass N\N induktiv ist.
∀I∈J:0∈I⇒0∈N=⋂I∈JI\forall I \in J : 0 \in I \Rightarrow 0 \in \N = \bigcap\limits_{I \in J} I
x∈N=⋂I∈JI x \in \N = \bigcap\limits_{I \in J} I ⇒∀I∈J:x∈I\Rightarrow \forall I \in J : x \in I   ⟹  x+1∈I\implies x+1 \in I (wegen II induktiv) ⇒∀I∈J:x+1∈I\Rightarrow \forall I \in J : x+1 \in I ⇒x+1∈N=⋂I∈JI \Rightarrow x+1 \in \N = \bigcap\limits_{I \in J} I □\qed

Prinzip der vollständigen Induktion

Satz 16HP liefert die Rechtfertigung für das Prinzip der vollständigen Induktion. Gilt eine Aussage HH für 00 und kann man aus der Gültigkeit von HH für n∈Nn\in\N auf die Gültigkeit für n+1n+1 schließen, so gilt HH für alle natürlichen Zahlen. Es gilt nämlich {x∈N∣H(x)}=N\{x\in\N | H(x)\}=\N, da N\N als kleinste induktive Teilmenge definiert war.
Dieses Prinzip kann man auf beliebige Teilmengen der Form {n∈Z:n≥m}\{n \in \mathbb{Z}:n \geq m\} mit mm als Induktionsanfang verallgemeinern.
Aus der Definition (1) der natürlichen Zahlen kann man die bekannten Eigenschaften herleiten.

Satz 16LU (Eigenschaften der natürlichen Zahlen)

  1. ∀n∈N:n≥0\forall n \in \N : n \geq 0
  2. ∀n,m∈N:n+m∈N\forall n,m \in \N : n+m \in \N und n⋅m∈N n \cdot m \in \N
    (Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation)
  3. ∀n>0\forall n > 0 gilt n−1∈N n-1 \in \N
  4. Jede nichtleere Teilmenge A⊂NA \subset \N enthält eine kleinste natürliche Zahl, also ihr Minimum.

Beweis

(i) mit vollständiger Induktion: Induktionsanfang 0≥00\geq 0 klar. Sei n≥0n\geq 0   ⟹  n+1≥1≥0\implies n+1\geq 1\geq 0.
(ii) Induktion über mm: Induktionsanfang: n+0∈Nn+0\in\N, da n∈Nn\in \N. Induktionsschritt: Sei n+m∈Nn+m\in\N   ⟹  n+m+1∈N\implies n+m+1\in \N, da N\N induktiv. Für die Multiplikation gilt im Induktionsschritt n(m+1)=nm+nn(m+1)=nm+n. nm∈Nnm\in\N nach Induktionsvoraussetzung und die Summe gehört ebenfalls zu N\N wie gezeigt. □\qed

Satz 5221B (Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen)

Die natürlichen Zahlen sind nach oben unbeschränkt oder: Zu jeder reellen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. Formal:
∀r∈R ∃n∈N:n>r\forall r\in\domR\,\exists n\in\domN: n>r.

Beweis

Wir führen den Beweis indirekt. Sei N\dom N nach oben beschränkt, dann gibt es nach dem Vollständigkeitsaxiom ein s∈Rs\in \dom R mit s=sup⁡Ns=\sup\dom N. Jetzt muss es aber auch ein k∈Nk\in\dom N mit k>s−1k>s-1 geben, denn andernfalls, wäre s−1s-1 größer als alle natürlichen Zahlen und kleiner als ss, was nicht geht, da ss Supremum war.
Dann gilt aber s<k+1s<k+1, mit anderen Worten gibt es eine natürliche Zahl, die größer als ss ist. Widerspruch! □\qed

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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