Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen Q\domQ sind eine Erweiterung der ganzen Zahlen. Es werden Brüche hinzugenommen.
Q={ pq ∣ p,q∈Z∧q≠0}\dom Q=\ntxbraceK{ \, \ntxbraceIC{\dfrac p q \, } \, p,q\in\dom Z \and q\neq 0 }(1)
Die positiven rationalen Zahlen heißen gebrochene Zahlen und werden mit Q+\Q^+ bezeichnet.
Reelle Zahlen, die nicht rational sind heißen irrationale Zahlen.
Die rationalen Zahlen bilden ebenso wie die reellen Zahlen einen angeordneten Körper. Man überzeugt sich schnell, dass die unter (1) definierten Zahlen sowohl den Körperaxiomen als auch den Anordnungsaxiomen genügen.

Lemma 5224E

In jeder ϵ\epsilon-Umgebung um 0 liegt eine gebrochene Zahl der Form 1n\dfrac 1 n für ein gewisses n∈Nn\in\dom N.

Beweis

Wenn ϵ>0\epsilon >0 gewählt ist, gibt es nach Satz 5221B eine natürliche Zahl nn mit 1ϵ<n\dfrac 1 \epsilon < n, daher gilt 0<1n<ϵ0<\dfrac 1 n < \epsilon □\qed
Mit diesem Ergebnis können wir eine erstaunliche Tatsache formulieren:

Satz 5224A

Zwischen zwei reellen Zahlen aa und bb mit a<ba<b liegt immer wenigstens eine rationale Zahl rr mit a<r<ba<r<b.
Damit liegen zwischen zwei reellen Zahlen auch unendlich viele rationale Zahlen. Man sagt auch, die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen.

Beweis

Mit a<ba<b gilt 0<b−a0<b-a und nach Lemma 5224E gibt es ein n∈Nn\in\domN mit
0<1n<b−a0<\dfrac 1 n < b-a.(2)
Wir setzen jetzt:
m=min⁡{k∈Z:an<k}m=\min \{k\in\domZ : an<k\}.
Dies ist möglich, da die Menge nach unten beschränkt ist und nach Satz 5729A das Infimum zugleich Minimum ist.
Laut Definition gilt an<man<m. Wir zeigen jetzt m<bnm<bn, womit a<mn<ba<\dfrac m n<b bewiesen wäre.
Sei m≥bnm\geq bn, also
mn≥b\dfrac m n \geq b.(3)
Wegen der Minimumeigenschaft von mm gilt m−1≤anm-1\leq an, also m−1n≤a\dfrac {m-1} n \leq a und auch
−m−1n≥−a-\dfrac {m-1} n \geq -a.(4)
Addieren wir die Ungleichungen (3) und (4), ergibt sich
mn−m−1n=1n≥b−a\dfrac m n -\dfrac {m-1} n=\dfrac 1 n\geq b-a
Dies steht aber im Widerspruch zu (2), womit die Behauptung gezeigt wäre.
Der zweite Teil des Satzes gilt schon deswegen, weil wir zwischen aa und rr wieder wenigstens eine rationale Zahl liegt. □\qed
Kurioserweise sind auch schon die rationalen Zahlen in sich dicht. Denn jede rationale Zahl ist zugleich reelle Zahl, und damit gilt der obige Satz analog.
Die rationalen Zahlen sind jedoch nicht vollständig, denn die Menge {q∈Q∣ q2<2}\{q\in \dom Q| \, q^2<2\} besitzt kein Supremum, da 2\sqrt 2 keine rationale Zahl ist.
 
 

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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