Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen \(\displaystyle \dom Q\) sind eine Erweiterung der ganzen Zahlen. Es werden Brüche hinzugenommen.
(1)
\(\displaystyle \dom Q=\ntxbraceK{ \, \ntxbraceIC{\dfrac p q \, } \, p,q\in\dom Z \and q\neq 0 }\)
Die positiven rationalen Zahlen heißen gebrochene Zahlen und werden mit \(\displaystyle \Q^+\) bezeichnet.
Reelle Zahlen, die nicht rational sind heißen irrationale Zahlen.
Die rationalen Zahlen bilden ebenso wie die reellen Zahlen einen angeordneten Körper. Man überzeugt sich schnell, dass die unter (1) definierten Zahlen sowohl den Körperaxiomen als auch den Anordnungsaxiomen genügen.
 
 

Lemma 5224E

In jeder \(\displaystyle \epsilon\)-Umgebung um 0 liegt eine gebrochene Zahl der Form \(\displaystyle \dfrac 1 n\) für ein gewisses \(\displaystyle n\in\dom N\).

Beweis

Wenn \(\displaystyle \epsilon >0\) gewählt ist, gibt es nach Satz 5221B eine natürliche Zahl \(\displaystyle n\) mit \(\displaystyle \dfrac 1 \epsilon < n\), daher gilt \(\displaystyle 0<\dfrac 1 n < \epsilon\) \(\displaystyle \qed\)
Mit diesem Ergebnis können wir eine erstaunliche Tatsache formulieren:

Satz 5224A

Zwischen zwei reellen Zahlen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) mit \(\displaystyle a<b\) liegt immer wenigstens eine rationale Zahl \(\displaystyle r\) mit \(\displaystyle a<r<b\).
Damit liegen zwischen zwei reellen Zahlen auch unendlich viele rationale Zahlen. Man sagt auch, die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen.

Beweis

Mit \(\displaystyle a<b\) gilt \(\displaystyle 0<b-a\) und nach Lemma 5224E gibt es ein \(\displaystyle n\in\domN\) mit
(2)
\(\displaystyle 0<\dfrac 1 n < b-a\).
Wir setzen jetzt:
\(\displaystyle m=\min \{k\in\domZ : an<k\}\).
Dies ist möglich, da die Menge nach unten beschränkt ist und nach Satz 5729A das Infimum zugleich Minimum ist.
Laut Definition gilt \(\displaystyle an<m\). Wir zeigen jetzt \(\displaystyle m<bn\), womit \(\displaystyle a<\dfrac m n<b\) bewiesen wäre.
Sei \(\displaystyle m\geq bn\), also
(3)
\(\displaystyle \dfrac m n \geq b\).
Wegen der Minimumeigenschaft von \(\displaystyle m\) gilt \(\displaystyle m-1\leq an\), also \(\displaystyle \dfrac {m-1} n \leq a\) und auch
(4)
\(\displaystyle -\dfrac {m-1} n \geq -a\).
Addieren wir die Ungleichungen (3) und (4), ergibt sich
\(\displaystyle \dfrac m n -\dfrac {m-1} n=\dfrac 1 n\geq b-a\)
Dies steht aber im Widerspruch zu (2), womit die Behauptung gezeigt wäre.
Der zweite Teil des Satzes gilt schon deswegen, weil wir zwischen \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle r\) wieder wenigstens eine rationale Zahl liegt. \(\displaystyle \qed\)
Kurioserweise sind auch schon die rationalen Zahlen in sich dicht. Denn jede rationale Zahl ist zugleich reelle Zahl, und damit gilt der obige Satz analog.
Die rationalen Zahlen sind jedoch nicht vollständig, denn die Menge \(\displaystyle \{q\in \dom Q| \, q^2<2\}\) besitzt kein Supremum, da \(\displaystyle \sqrt 2\) keine rationale Zahl ist.

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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