Beispiele zu rationalen Zahlen

Man zeige, dass wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist $\sqrt p$ irrational. Damit ist insbesondere $\sqrt 2$ eine irrationale Zahl.

Indirekter Beweis. Sei $p$ rational, dann muss es $m,n\in \N$ geben mit $\sqrt p=\dfrac m n$. Also gilt auch $n^2p=m^2$. Jetzt untersuchen wir die Primfaktoren der beiden Terme. Auf der rechten Seite steht eine Zahl mit einer geraden Anzahl von Primfaktoren, auf der linken Seite aber eine Zahl mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren. Dies ist aber wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung einer natürlichen Zahl (Satz 5303C) nicht möglich. Widerspruch. $\qed$

Seien $a$, $b$ positive rationale Zahlen. Weiterhin sei bekannt, dass $\sqrt a +\sqrt b$ rational ist. Man zeige, dass dann auch $\sqrt a$ und $\sqrt b$ rational sind.

Mit $\sqrt a +\sqrt b$ ist auch $(\sqrt a +\sqrt b)^2=a+b+2\sqrt{ab}$ rational. Damit muss auch $\sqrt{ab}$ rational sein.

Es ist $\sqrt a\cdot (\sqrt a +\sqrt b)=a+\sqrt{ab}$. Da die rechte Seite rational ist, muss es die linke Seite der Gleichung auch sein. Auf der linken Seite steht dass Produkt einer rationalen Zahl $\sqrt a +\sqrt b$ mit einer anderen Zahl. Damit muss auch der Faktor $\sqrt a$ rational sein.

Wenn man von $\sqrt b \cdot(\sqrt a +\sqrt b)=b+\sqrt{ab}$ ausgeht, kann man analog schließen, dass $\sqrt b$ rational ist. $\qed$