Beispiele zu rationalen Zahlen

Beispiel 5225H

Man zeige, dass wenn pp eine Primzahl ist, dann ist p\sqrt p irrational. Damit ist insbesondere 2\sqrt 2 eine irrationale Zahl.

Lösung

Indirekter Beweis. Sei pp rational, dann muss es m,nNm,n\in \N geben mit p=mn\sqrt p=\dfrac m n. Also gilt auch n2p=m2n^2p=m^2. Jetzt untersuchen wir die Primfaktoren der beiden Terme. Auf der rechten Seite steht eine Zahl mit einer geraden Anzahl von Primfaktoren, auf der linken Seite aber eine Zahl mit einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren. Dies ist aber wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung einer natürlichen Zahl (Satz 5303C) nicht möglich. Widerspruch. \qed

Beispiel 5225G

Seien aa, bb positive rationale Zahlen. Weiterhin sei bekannt, dass a+b\sqrt a +\sqrt b rational ist. Man zeige, dass dann auch a\sqrt a und b\sqrt b rational sind.

Lösung

Mit a+b\sqrt a +\sqrt b ist auch (a+b)2=a+b+2ab(\sqrt a +\sqrt b)^2=a+b+2\sqrt{ab} rational. Damit muss auch ab\sqrt{ab} rational sein.
Es ist a(a+b)=a+ab\sqrt a\cdot (\sqrt a +\sqrt b)=a+\sqrt{ab}. Da die rechte Seite rational ist, muss es die linke Seite der Gleichung auch sein. Auf der linken Seite steht dass Produkt einer rationalen Zahl a+b\sqrt a +\sqrt b mit einer anderen Zahl. Damit muss auch der Faktor a\sqrt a rational sein.
Wenn man von b(a+b)=b+ab\sqrt b \cdot(\sqrt a +\sqrt b)=b+\sqrt{ab} ausgeht, kann man analog schließen, dass b\sqrt b rational ist. \qed
 
 

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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