Kettenbrüche

Einfache oder reguläre Kettenbrüche sind eine eindeutige Darstellungsform der reellen Zahlen. Ein regulärer Kettenbruch ist definiert als ein Bruch der Form:
a0+1a1+1a2+1a3+a_0 + \dfrac{1}{\displaystyle a_1+\dfrac{1}{\displaystyle a_2+\dfrac{1}{a_3+\cdots}}}
Dabei ist a0a_0 eine ganze Zahl und a1,a2,a_1, a_2, \ldots sind positive ganze Zahlen.
Allgemeine Kettenbrüche sind eine erweiterte Form der regulären Kettenbrüche. Ein allgemeiner Kettenbruch ist definiert als ein Bruch der Form:
a0+b1a1+b2a2+b3a3+a_0 + \dfrac{b_1}{\displaystyle a_1+\dfrac{b_2}{\displaystyle a_2+\dfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
Dabei sind a0,a1,a2,,b1,b2,a_0, a_1, a_2, \ldots , b_1, b_2, \ldots positive ganze Zahlen.
Wenn von einem Kettenbruch ohne nähere Angabe die Rede ist, ist meist ein regulärer Kettenbruch gemeint.
Eine alternative Schreibweise für (reguläre) Kettenbrüche ist [a0;a1,a2,][a_0; a_1, a_2, \dots].
Man unterscheidet endliche, periodisch unendliche und nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche.
 
 

Endlicher Kettenbruch

Ein endlicher Kettenbruch hört nach dem nn-ten Glied auf, hat also die Form:
a0+1a1+1a2+1an a_0 + \dfrac{1}{\displaystyle a_1+\dfrac{1}{\displaystyle a_2+\cdots \dfrac{1}{a_n}}} ,
wobei zur eindeutigen Darstellung an1a_n \neq 1 festgelegt wird.
Ein endlicher Kettenbruch beschreibt eine rationale Zahl. Umgekehrt lässt sich auch jede rationale Zahl als endlicher Kettenbruch darstellen. Das lässt sich über den euklidischen Algorithmus realisieren:
Ein Bruch ab\dfrac{a}{b} lässt sich wie folgt zerlegen:
a = q0q_{0} \cdot b + r2r_{2}
b = q1r2q_{1} \cdot r_{2} + r3r_{3}
r2r_{2} = q2r3q_{2} \cdot r_{3} + r4r_{4}
.
.
rnr_{n} = qnrn+1q_{n} \cdot r_{n+1} + rn+2r_{n+2}
.
.
ror_{o} = qoro+1q_{o} \cdot r_{o+1} + 0
Der Bruch wird dann nach folgendem Schema in einen Kettenbruch umgewandelt:
a=q0b+r2:ba = q_0 * b + r_2 | :b
ab=q0+r2b=q0+1 br2 =q0+1q1+r3r2=\dfrac{a}{b} = q_0 + \dfrac{r_2}{b} = q_0 + \dfrac{1}{\displaystyle\ \dfrac{b}{r_2}\ } = q_0 + \dfrac{1}{\displaystyle q_1 +\dfrac{r_3}{r_2}} = \dots
Beispiel 135\dfrac{13}{5}:
13=25+313 = 2 \cdot 5 + 3
5=13+25 = 1 \cdot 3 + 2
3=12+13 = 1 \cdot 2 + 1
2=21+02 = 2 \cdot 1 + 0
135=2+35=2+1 53 =2+11+23=2+11+1 32 =2+11+11+12\dfrac{13}{5} = 2 + \dfrac{3}{5} = 2 + \dfrac{1}{\displaystyle\ \dfrac{5}{3}\ } = 2 + \dfrac{1}{\displaystyle 1 + \dfrac{2}{3}} = 2 + \dfrac{1}{\displaystyle 1 + \dfrac{1}{\displaystyle\ \dfrac{3}{2}\ }} = 2 + \dfrac{1}{\displaystyle 1 + \dfrac{1}{\displaystyle 1 + \dfrac{1}{2}}}
In der alternativen Schreibweise ist 135=[2;1,1,2]\dfrac{13}{5} = [2;1,1,2]

Unendliche Kettenbrüche

Ein unendlicher Kettenbruch beschreibt eine irrationale Zahl und umgekehrt hat jede irrationale Zahl eine unendliche Kettenbruchentwicklung.

Periodisch unendliche Kettenbrüche

Periodische unendliche Kettenbrüche beschreiben irrationale algebraische Zahlen, die Lösungen von ganzzahligen quadratischen Gleichungen sind. Umgekehrt lässt sich jede irrationale Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten als periodischer unendlicher Kettenbruch darstellen.
Dass die erste dieser Behauptungen leicht zu zeigen ist, sei an einem Beispiel demonstriert: Wenn xx etwa der periodische Kettenbruch
x=1+12+13+11+12+x= 1 + \dfrac{1}{\displaystyle 2 + \dfrac{1}{\displaystyle 3 + \dfrac{1}{\displaystyle 1 + \dfrac{1}{2 + \dots }}}}
ist, dann gilt
x=1+12+13+1x==10x+37x+2x= 1 + \dfrac{1}{\displaystyle 2 + \dfrac{1}{\displaystyle 3 + \dfrac{1}{x}}} = \cdots = \dfrac{10x+3}{7x+2}
woraus 7x28x3=0 7 x^2 - 8 x - 3 = 0 folgt.
Ein Beispiel ist der unendliche Kettenbruch für die Quadratwurzel aus 2:
2=1+12+12+12+12+\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{\displaystyle 2 + \dfrac{1}{\displaystyle 2 + \dfrac{1}{\displaystyle 2 + \dfrac{1}{2 + \ldots}}}}\,
Eine besondere Form periodischer unendlicher Kettenbrüche beschreibt die noblen Zahlen.

Nichtperiodisch unendliche Kettenbrüche

Jeder nichtperiodisch unendliche Kettenbruch stellt eine irrationale Zahl dar, die sich nicht als Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt. Umgekehrt lässt sich jede solche Zahl (insbesondere jede transzendente Zahl) als nichtperiodischer Kettenbruch schreiben.
Der unendliche Kettenbruch für die Eulersche Zahl ee:
e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,]e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]\,
wobei sich das hier erkennbare Muster bis ins Unendliche fortsetzt, jedoch keine Periode aufweist.
Der Kettenbruch zu Kreiszahl π\pi hat kein erkennbares Muster:
π=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,]\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]
Es existiert jedoch ein sehr regelmäßiger, aber nicht mehr regulärer Kettenbruch für π\pi:
π=41+122+322+52\pi = \dfrac{4}{\displaystyle 1+\dfrac{1^2}{\displaystyle 2+\dfrac{3^2}{\displaystyle 2+\dfrac{5^2}{\cdots}}}}
Ebenfalls nichtperiodisch ist beispielsweise der Kettenbruch für die dritte Wurzel von 2:
23=[1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,]\sqrt[3]{2} = [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1, 14, \dots]

Historisches und Anwendungen

Zur Geschichte der Kettenbrüche

Die Theorie der Kettenbrüche entwickelte sich aus dem Bedürfnis hieraus, Brüche oder schwer fassbare Zahlen zu approximieren. Beispielsweise berechnete Christiaan Huygens damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens musste für die Bewegung des Saturns das Verhältnis
777084912640858\dfrac{77 \, 708 \, 491}{2 \, 640 \, 858}=[29;2,2,1,5,1,6,1,1,1,1,9,1,1,14,2,2]= [29;2,2,1,5,1,6,1,1,1,1,9,1,1,14,2,2] =29,425471 = 29{,}425471\dots
berechnen. Mit nur drei Kettengliedern beträgt der relative Fehler hierbei ungefähr 0,01 %:
29+12+12+11=2067=29,428571 29 + \dfrac{1}{\displaystyle 2 + \dfrac{1}{\displaystyle 2 + \dfrac{1}{1}}} = \dfrac{206}{7} = 29{,}428571\dots
Auch zur Festlegung von Schaltjahren kann man Kettenbruchnäherungen benutzen. Fast alle Kulturen nutzen sie zur Erstellung von Zeitrechnungstafeln und Kalendern. Und auch die wichtige Kreiszahl π\pi wussten die Chinesen schon durch Brüche anzunähern. Natürlich ist im Zeitalter des Computers die näherungsweise Berechnung der Kreiszahl oder anderer irrationaler Zahlen problemlos machbar; eine extrem genaue Approximation ist jedoch selten sinnvoll.

Anwendungen

  • Die Kettenbruchmethode, ein Faktorisierungsverfahren für ganze Zahlen nn, die keine Quadratzahl sind, basiert auf der Kettenbruchzerlegung von n\sqrt{n}.
  • Kettenbrüche sind manchmal recht angenehm, um etwas zu zeigen, beispielsweise um algebraische Zahlen von transzendenten Zahlen zu unterscheiden. Am Wachstum der Folge ana _{n} kann man ablesen, wie gut die Zahl α\alpha =[a0;a1a _{0};a_{1}, ...] durch rationale Zahlen approximierbar ist; falls die Folge ana _{n} schnell genug wächst, ist α\alpha ein Liouvillesche Zahl und daher transzendent.
  • Kettenbrüche werden benutzt um rationale Näherungen an eine vorgegebene reelle Zahl zu berechnen, d.h. die betreffende Zahl durch Brüche anzunähern, deren Zähler und Nenner für die erzielte Genauigkeit der Darstellung möglichst klein sind. Man kann zeigen, dass die teilweise Auswertung der Kettenbruchdarstellung einer reellen Zahl einen Bruch liefert, der in dem Sinne die genaueste mögliche rationale Annäherung an den Kettenbruch ist, als man die Annäherung nur genauer machen kann, wenn man den Nenner größer macht.
Beispiel: die oben angeführte Kettenbruchdarstellung für
π=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,]\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, \dots]
liefert nacheinander mit zunehmendem Nenner und zunehmender Genauigkeit für π\pi die Näherungswerte
3,2273,1433,\, \dfrac{22}{7} \approx 3{,}143; 3331063,14151 \dfrac{333}{106} \approx 3{,}14151; 3551133,1415929 \dfrac{355}{113} \approx 3{,}1415929; 103993331023,1415926530 \dfrac{103 \, 993}{33 \, 102} \approx 3{,}1415926530, usw.
Diese sind abwechselnd ein bisschen zu klein und ein bisschen zu groß, wobei der absolute Fehler immer kleiner wird.
  • Kettenbrüche eignen sich aber kaum zur Berechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendenter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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