Quadratzahlen

Jede Quadratzahlen ist das Produkt zweier gleicher natürlicher Zahlen.
Die Quadratzahlen bis 10\displaystyle{{10}} sind: 0=0⋅0\displaystyle{{0}={0}\cdot{0}}, 1=1⋅1\displaystyle{\quad{1}={1}\cdot{1}}, 4=2⋅2\displaystyle{\quad{4}={2}\cdot{2}}, 9=3⋅3\displaystyle{\quad{9}={3}\cdot{3}}, 16=4⋅4\displaystyle{\quad{16}={4}\cdot{4}}, 25=5⋅5\displaystyle{\quad{25}={5}\cdot{5}}, 36=6⋅6\displaystyle{\quad{36}={6}\cdot{6}}, 49=7⋅7\displaystyle{\quad{49}={7}\cdot{7}}, 64=8⋅8\displaystyle{\quad{64}={8}\cdot{8}}, 81=9⋅9\displaystyle{\quad{81}={9}\cdot{9}}.
Die Folge der Quadratzahlen geht dann weiter mit 100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400\displaystyle{{100},{121},{144},{169},{196},{225},{256},{289},{324},{361},{400}}.
Ist nn eine natürliche Zahl, so ist n⋅n=n2n\cdot n=n^2 die zugeordnete Quadratzahl und wird mit n\displaystyle{{n}} Quadrat bezeichnet. Die obige Definition kann auch auf ganze Zahlen erweitert werden, da ebenso n2=(−n)⋅(−n)n^2=(-n)\cdot(-n) gilt.
Die Quadratzahlen sind Potenzen mit dem Exponenten 2. Die Quadratwurzeln der Quadratzahlen ergeben wieder die natürlichen Zahlen.

Eigenschaften

Quadrate gerader Zahlen sind gerade (62=36\displaystyle{{6}^{{2}}={36}}) und Quadrate ungerader Zahlen sind ungerade (72=49\displaystyle{{7}^{{2}}={49}}). Denn (2n)2=4n2=2(2n2)\displaystyle{{\left({2}{n}\right)}^{{2}}={4}{n}^{{2}}={2}{\left({2}{n}^{{2}}\right)}} bzw. (2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1\displaystyle{{\left({2}{n}+{1}\right)}^{{2}}={4}{n}^{{2}}+{4}{n}+{1}={2}{\left({2}{n}^{{2}}+{2}{n}\right)}+{1}}, also ungerade als Summe einer geraden Zahl und 1\displaystyle{{1}}.
Jede von 0\displaystyle{{0}} verschiedene Quadratzahl lässt sich als Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen darstellen:
n2=∑i=1n(2i−1)n^2 = \sum\limits^n_{i=1} (2i-1) =1+3+5+⋯+(2n−1)= 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) (Beispiel 5227A) .
Es gilt z.B. 25=1+3+5+7+925=1+3+5+7+9.

Endziffern

Bei Quadratzahlen können nur die Endziffern 0,1,4,5,6\displaystyle{{0},{1},{4},{5},{6}} und 9\displaystyle{{9}} auftreten.
Sei x=10⋅a+bx=10\cdot a+b mit 0≤b≤90\le b\le9 die Darstellung einer Zahl mit der Endziffer bb, dann ist x2=(10⋅a+b)2x^2=(10\cdot a+b)^2 =100⋅a2+20ab+b2=100\cdot a^2+20ab+b^2 =10⋅(10a2+2ab)+b2=10\cdot(10a^2+2ab)+b^2. Damit muss die letzte Ziffer von x2x^2 mit der Endziffer von b2b^2 übereinstimmen. Sieht man sich nun die Quadratzahlen von 0 bis 9 an, so treten bei ihnen nur die oben genannten Endziffern auf.
Wir man nun z.B. gefragt, ob 141516246254253141516246254253 eine Quadratzahl ist, kann man dies auch ohne Berechnungen verneinen, da eine auf 33 endende Zahl niemals eine Quadratzahl sein kann.
 
 

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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