Quadratzahlen

Jede Quadratzahlen ist das Produkt zweier gleicher natürlicher Zahlen.
Die ersten Quadratzahlen sind: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400
Ist \(\displaystyle n\) eine natürliche Zahl, so ist \(\displaystyle n\cdot n=n^2\) die zugeordnete Quadratzahl und wird mit "n Quadrat" bezeichnet. Die obige Definition kann auch auf ganze Zahlen erweitert werden, da ebenso \(\displaystyle n^2=(-n)\cdot(-n)\) gilt.
Die Quadratzahlen sind Potenzen mit dem Exponenten 2. Die Quadratwurzeln der Quadratzahlen ergeben wieder die natürlichen Zahlen.
 
 

Eigenschaften

Quadrate gerader Zahlen sind gerade und Quadrate ungerader Zahlen sind ungerade.
Jede von 0 verschiedene Quadratzahl lässt sich als Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen darstellen:
\(\displaystyle n^2 = \sum\limits^n_{i=1} (2i-1) \)\(\displaystyle = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)\) (Beispiel 5227A) .
Es gilt z.B. \(\displaystyle 25=1+3+5+7+9\).

Endziffern

Bei Quadratzahlen können nur die Endziffern 0,1,4,5,6 und 9 auftreten.
Sei \(\displaystyle x=10\cdot a+b\) mit \(\displaystyle 0\le b\le9\) die Darstellung einer Zahl mit der Endziffer \(\displaystyle b\), dann ist\(\displaystyle x^2=(10\cdot a+b)^2\) \(\displaystyle =100\cdot a^2+20ab+b^2\) \(\displaystyle =10\cdot(10a^2+2ab)+b^2\). Damit muss die letzte Ziffer von \(\displaystyle x^2\) mit der Endziffer von \(\displaystyle b^2\) übereinstimmen. Sieht man sich nun die Quadratzahlen von 0 bis 9 an, so treten bei ihnen nur die oben genannten Endziffern auf.
Wir man nun z.B. gefragt, ob \(\displaystyle 141516246254253\) eine Quadratzahl ist, kann man dies auch ohne Berechnungen verneinen, da eine auf \(\displaystyle 3\) endende Zahl niemals eine Quadratzahl sein kann.

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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