Potenzen

Das Potenzieren ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach zunächst eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor immer wieder mit dem vorherigen Ergebnis multipliziert:
\(\displaystyle { a\cdot a\cdot a\cdots a } =a^b\) (mit \(\displaystyle b\) Faktoren \(\displaystyle a\))
\(\displaystyle a\) nennt man die Basis (Grundzahl) und \(\displaystyle b\) den Exponenten (Hochzahl). Das Ergebnis ist die Potenz. Ist \(\displaystyle b=0\), so wird \(\displaystyle a^0=1\) festgelegt.
 
 

Berechnung

Abweichende Schreibweisen

Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (z.B. in einem ASCII-Text), verwendet man oft \(\displaystyle a\)^\(\displaystyle b\), gelegentlich auch \(\displaystyle a**b\).

Definition

Ganzzahlige Exponenten

Für eine reelle Zahl \(\displaystyle a\) und eine natürliche Zahl \(\displaystyle n\) wird definiert
\(\displaystyle a^{-n} := \braceNT{\dfrac 1 a}^n,\quad a \neq 0\)
Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.

Rationale Exponenten

Sind \(\displaystyle n\) und \(\displaystyle m\) ganze Zahlen (\(\displaystyle n \ne 0\)), sowie \(\displaystyle a\) eine positive, reelle Zahl, dann definiert man:
\(\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrtN{n}{a^m}\)
Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Exponenten zulässt, kann die Definition auf negative Basen \(\displaystyle a\) und rationale Exponenten erweitern, wenn der Nenner des Exponenten ungerade ist. Dann gilt beispielsweise \(\displaystyle (-27)^{1/3}=-3\). Das Potenzgesetz \(\displaystyle (a^r)^s=a^{rs}\) gilt dann jedoch nur noch, wenn der Nenner von \(\displaystyle s\) ebenfalls ungerade ist, z.B. ist
\(\displaystyle -3=(-27)^{1/3}=(-27)^{2/6}\ne((-27)^2)^{1/6}=3\, \)
Für negative Basen \(\displaystyle a\) ist diese Funktion \(\displaystyle a^q: q\mapsto a^q\) aber unstetig; beispielsweise ist \(\displaystyle (-1)^0=1\) aber \(\displaystyle (-1)^{\frac{1}{2k+1}}=-1\). Eine stetige Fortsetzung auf die reellen Zahlen ist also nur für positive Basen möglich.

Reelle Exponenten

Für positive reelle Zahlen \(\displaystyle a\) ist die Funktion \(\displaystyle a^q: \mathbb{Q}\to\mathbb{R}\), \(\displaystyle q\mapsto a^q\) stetig und lässt sich auf die reellen Zahlen fortsetzen; das Potenzieren mit beliebigen reellen Exponenten lässt sich als diese stetige Fortsetzung oder äquivalent als
\(\displaystyle a^b := \exp(b \cdot \ln a)\)
definieren. Dabei ist \(\displaystyle \exp\) die Exponentialfunktion und \(\displaystyle \ln\) der natürliche Logarithmus.

Rechenregeln

Das Wort "nichtnegativ" bedeutet im folgenden "positiv oder null"; mit "alle \(\displaystyle a\)" ist "alle reellen oder komplexen Zahlen \(\displaystyle a\)" gemeint.
  1. \(\displaystyle a^0 = 1\) für \(\displaystyle a\neq 0\)
  2. \(\displaystyle a^{-s} = \dfrac{1}{a^s}\)
  3. \(\displaystyle a^{r+s} = a^r\cdot a^s\); \(\displaystyle a^{r-s}=\dfrac{a^r}{a^s}\)
  4. \(\displaystyle (a^r)^s = a^{r\cdot s}\)
  5. \(\displaystyle (a\cdot b)^r = a^r\cdot b^r\); \(\displaystyle \braceNT{\dfrac{a}{b}}^r = \dfrac{a^r}{b^r}\)
Alle Regeln gelten nur soweit die auftretenden Potenzen definiert sind.
Die Regel (iv) ist beispielsweise für \(\displaystyle a=-1\), \(\displaystyle r=2\) und \(\displaystyle s=1/2\) nicht anwendbar, obwohl keine undefinierten Ausdrücke auftreten:
\(\displaystyle ((-1)^2)^{1/2}=1\ne -1=(-1)^{2\cdot 1/2}\, \)
Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt \(\displaystyle 2^3 = 8 \neq 9 = 3^2\), noch assoziativ, denn beispielsweise gilt \(\displaystyle \braceNT{3^1}^3=27\neq 3 = 3^{\braceNT{1^3}}\).
Die Schreibweise \(\displaystyle a^{b^c}\) ohne Klammern bedeutet meistens \(\displaystyle {(a^b)}^c\).

Besondere Potenzen

Im alltäglichen Leben werden die Zehnerpotenzen, also die Potenzen mit der Basis 10 (das sind 1, 10, 100, 1000, ...) wohl am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems.
Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16, ...). Ein Kilobyte (abgekürzt KB) entspricht \(\displaystyle 2^{10} = 1\, 024\) Bytes.
Für die Mathematik besonders wichtig sind die Potenzen mit der Basis \(\displaystyle e \approx 2,71828\), der so genannten Eulerschen Zahl.

Anwendungsbeispiele von Zweierpotenzen

Zweierpotenzen entsprechen dem Prozess der wiederholten Verdoppelung. Das Anwachsen dieser Zahlenfolge überrascht bei Praxisbeispielen oft.
Beispiel 1: Ein Blatt Papier lässt sich nur etwa 7 Mal auf die halbe Größe falten (halbieren). Es hat dann 128 Lagen. Wenn man es (theoretisch) 42 Mal falten könnte, entspräche seine Dicke der Entfernung von der Erde zum Mond.
Beispiel 2: Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern, vier Großeltern, acht Urgroßeltern, usw. Verfolgt man diesen Ahnenbaum 70 Generationen zurück (ins Jahr Christi Geburt), so stammt jeder heutige Mensch von \(\displaystyle 2^{70} = 1\, 180\, 591\, 620\, 717\, 411\, 303\, 424\) Menschen aus dieser Zeit ab, was weit mehr als die damalige Weltbevölkerung ist.
Beispiel 3: Die Legende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte: Weizenkornlegende.
Bei Schneeballsystemen, z.B. so genannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern z.B. eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren.

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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