Stetigkeit

Die Definition der Stetigkeit kann von reellen Funktionen auf Funktionen mehrerer Veränderlicher übertragen werden. Eine Funktion f:RnRf:\Rn\to\R heißt an der Stelle x0x^0 stetig, wenn es zu jedem ϵ>0\epsilon>0 ein δ>0\delta>0 gibt, so dass für alle xx aus xx0<δ||x-x^0||<\delta auch f(x)f(x0)<ϵ|f(x)-f(x^0)|<\epsilon folgt.
In der Sprache der Umgebungen bedeutet dies, dass es zu jeder ϵ\epsilon-Umgebung von f(x0)f(x^0) eine δ\delta-Umgebung Uδ(x0)U_\delta(x^0) von x0x^0 gibt, so dass f(Uδ(x0))Uϵ(f(x0))f(U_\delta(x^0))\subseteq U_\epsilon(f(x^0)).
Sei ED(f)E\subseteq D(f), dann heißt ff auf EE stetig, wenn ff für alle xEx\in E stetig ist.
Die Funktion ff ist auf EE gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ϵ>0\epsilon>0 ein δ>0\delta>0 gibt, so dass für alle x1x^1, x2Ex^2\in E mit x1x2<δ||x^1-x^2||<\delta gilt: f(x1)f(x2)<ϵ|f(x^1)-f(x^2)|<\epsilon.
Aus der gleichmäßigen Stetigkeit auf EE folgt stets die Stetigkeit.
Das Analogon von Satz 5225F gilt auch für Funktionen mehrerer Veränderlicher:
 
 

Satz 165R

Sei f:RnRf:\Rn\to\R in einer Umgebung um x0x^0 definiert. Dann ist ff genau dann in x0x^0 stetig, wenn limxx0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x^0} f(x)=f(x^0) ist.

Beispiele

Die Funktion f(x1,x2)=x12+x22f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2 aus Beispiel 165O ist auf ganz R2\R^2 stetig.
Die Funktion f(x,y)=xyx2+y2f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2} aus Beispiel 165Q ist an der Stelle (x10,x20)=(0,0)(x_1^0,x_2^0)=(0,0) nicht definiert. Setzen wir für f(0,0)=Cf(0,0)=C mit einer beliebigen Zahl CC, so kann die Funktion dort niemals stetig sein, da der Grenzwert limxx0f(x)\lim_{x\to x^0} f(x) nicht existiert.

Jede mathematische Formel in einem Buch halbiert die Verkaufszahl dieses Buches.

Stephen Hawking

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе