Punktmengen des Rn\R^n

Teilmengen des Rn\R^n werden auch Punktmengen genannt. Die Elemente dieser Punktmengen sind geordnete n-Tupel (x1,x2,…,xn)(x_1,x_2,\dots,x_n) reeller Zahlen und werden Punkte genannt.

Beispiel 165J

331_Kreis.png
Die Menge {(x1,x2) ∣ x1,x2∈R ∧ x12+x22<1}\{ (x_1,x_2)\, | \, x_1,x_2\in\R \, \and \, x_1^2+x_2^2<1\} ist eine offene Kreisschreibe (ohne Rand) mit dem Radius 1 um den Ursprung.

Euklidische Metrik

Die für die reellen Zahlen übliche auf dem Absolutbetrag beruhende Abstandsfunktion wird für den Rn\R^n zur euklidischen Norm bzw. euklidischen Metrik verallgemeinert.
Für ein x=(x1,x2,…,xn)∈Rnx=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\Rn ist
∣∣x∣∣=x12+x22+⋯+xn2||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2} =∑i=1nxi2= \sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}
Mit dieser Norm ist der Rn\Rn ein normierter Vektorraum.
Die zugehörige euklidische Metrik ist dann definiert als:
d(x,y):=∣∣x−y∣∣d(x,y):=||x-y|| =∑i=1n(xi−yi)2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-y_i)^2},
wobei y=(y1,y2,…,yn)∈Rny=(y_1,y_2,\dots,y_n)\in\Rn ist.
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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