Punktmengen des \(\displaystyle \R^n\)

Teilmengen des \(\displaystyle \R^n\) werden auch Punktmengen genannt. Die Elemente dieser Punktmengen sind geordnete n-Tupel \(\displaystyle (x_1,x_2,\dots,x_n)\) reeller Zahlen und werden Punkte genannt.

Beispiel 165J

271_Kreis.png
Die Menge \(\displaystyle \{ (x_1,x_2)\, | \, x_1,x_2\in\R \, \and \, x_1^2+x_2^2<1\}\) ist eine offene Kreisschreibe (ohne Rand) mit dem Radius 1 um den Ursprung.
 
 

Euklidische Metrik

Die für die reellen Zahlen übliche auf dem Absolutbetrag beruhende Abstandsfunktion wird für den \(\displaystyle \R^n\) zur euklidischen Norm bzw. euklidischen Metrik verallgemeinert.
Für ein \(\displaystyle x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\Rn\) ist
\(\displaystyle ||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}\) \(\displaystyle = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}\)
Mit dieser Norm ist der \(\displaystyle \Rn\) ein normierter Vektorraum.
Die zugehörige euklidische Metrik ist dann definiert als:
\(\displaystyle d(x,y):=||x-y||\) \(\displaystyle =\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}\),
wobei \(\displaystyle y=(y_1,y_2,\dots,y_n)\in\Rn\) ist.

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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