Tupel

Geordnete Paare

Unter einem geordneten Paar

(a,b)

wollen wir die Zusammenfassung zweier Objekte

a

und

b

verstehen, wobei die Reihenfolge bedeutsam ist. Wir charakterisieren die geordneten Paare über die Definition ihrer Gleichheit:

(a_1,b_1)=(a_2,b_2):\iff a_1=a_2 \and b_1=b_2

(1)

Wir müssen das geordnete Paar

(a,b)

von der Zweiermenge

\{a,b\}

genau unterscheiden. Für Mengen gilt stets

\{a,b\}=\{b,a\}

, während für geordnete Paare nur dann

(a,b)=(b,a)

ist, wenn

a=b

Geordnete Paare können auch rein mengentheoretisch definiert werden:

(a,b):=\{a,\{a,b\}\}

(2)

Man überzeugt sich leicht, dass zwei mittels (2) definierte geordnete Paare die Bedingung (1) erfüllen.

Bei der Definition eines Tripels greifen wir auf das geordnete Paar zurück. Wir definieren:

(a,b,c)

((a,b),c)

Man überzeugt sich leicht, dass mit dieser Definition zwei Tripel genau dann gleich sind, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen.

Verallgemeinert man diese Definition weiter kommt man zum allgemeinen n-Tupel.

Wir definieren induktiv:

(a_1,a_2,\ldots ,a_n):=((a_1,a_2,\ldots ,a_{n-1}),a_n)

Diese Objekte heißen n-Tupel oder einfach Tupel.

Mittels vollständiger Induktion kann man auch zeigen, dass zwei n-Tupel genau dann gleich sind, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen.

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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