Mengenoperationen

Die Mengenoperationen verknüpfen Mengen zu neuen Mengen, indem Eigenschaften der zu konstruierenden Mengen definiert werden.
Folgende Operationen sind die Wichtigsten:
Formal können Mengenoperationen als binäre Operationen auf der Potenzmenge einer Menge angesehen werden.
Alle Mengenoperationen haben gemeinsam, dass sie die Ergebnismenge über logische Verknüpfungen der Elemente der Ausgangsmenge definieren: Also
A∘B={x ∣ (x∈A)∙(x∈B)}A\circ B=\{ x\, |\, (x\in A) \bullet (x\in B)\}
Dabei ist jeder Mengenoperation ∘\circ die logische Verknüpfung ∙\bullet zugeordnet. Die folgende Tabelle fasst diese Zuordnungen zusammen. Dabei sind AA und BB die Mengen und a:=x∈Aa:=x\in A bzw. b:=x∈Bb:=x\in B die Aussagen über das Enthaltensein in diesen Mengen.
Mengenoperation Symbol Logische Verknüpfung Aussage
Durchschnitt A∩BA\cap B Konjunktion a∧ba \and b
Vereinigung A∪BA \cup B Adjunktion a∨ba \or b
Differenz A∖BA\setminus B Negation der Implikation ¬(a  ⟹  b)=a∧¬b\not(a\implies b)=a\and \not b
symmetrische Differenz AΔBA\Delta B Kontravalenz a+b=¬(a  ⟺  b)a+b=\not(a\iff b)
 
 

Mengenfamilien

Unter einer Indexmenge II versteht man eine beliebige Menge, deren Elemente zum indizieren anderer Mengen dient. Für alle i∈Ii\in I seien die AiA_i Mengen. Alle AiA_i bilden dann eine Mengenfamilie. Ist I=NI=\N, so schreibt man A1A_1, A2A_2, A3…A_3\dots für die zur Familie gehörenden Mengen. Im allgemeinen muss die Indexmenge II nicht abzählbar sein.

Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.

Albert Einstein

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