Mengenoperationen

Die Mengenoperationen verknüpfen Mengen zu neuen Mengen, indem Eigenschaften der zu konstruierenden Mengen definiert werden.
Folgende Operationen sind die Wichtigsten:
Formal können Mengenoperationen als binäre Operationen auf der Potenzmenge einer Menge angesehen werden.
Alle Mengenoperationen haben gemeinsam, dass sie die Ergebnismenge über logische Verknüpfungen der Elemente der Ausgangsmenge definieren: Also
\(\displaystyle A\circ B=\{ x\, |\, (x\in A) \bullet (x\in B)\}\)
Dabei ist jeder Mengenoperation \(\displaystyle \circ\) die logische Verknüpfung \(\displaystyle \bullet\) zugeordnet. Die folgende Tabelle fasst diese Zuordnungen zusammen. Dabei sind \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) die Mengen und \(\displaystyle a:=x\in A\) bzw. \(\displaystyle b:=x\in B\) die Aussagen über das Enthaltensein in diesen Mengen.
Mengenoperation Symbol Logische Verknüpfung Aussage
Durchschnitt \(\displaystyle A\cap B\) Konjunktion \(\displaystyle a \and b\)
Vereinigung \(\displaystyle A \cup B\) Adjunktion \(\displaystyle a \or b\)
Differenz \(\displaystyle A\setminus B\) Negation der Implikation \(\displaystyle \not(a\implies b)=a\and \not b\)
symmetrische Differenz \(\displaystyle A\Delta B\) Kontravalenz \(\displaystyle a+b=\not(a\iff b)\)
 
 

Mengenfamilien

Unter einer Indexmenge \(\displaystyle I\) versteht man eine beliebige Menge, deren Elemente zum indizieren anderer Mengen dient. Für alle \(\displaystyle i\in I\) seien die \(\displaystyle A_i\) Mengen. Alle \(\displaystyle A_i\) bilden dann eine Mengenfamilie. Ist \(\displaystyle I=\N\), so schreibt man \(\displaystyle A_1\), \(\displaystyle A_2\), \(\displaystyle A_3\dots \) für die zur Familie gehörenden Mengen. Im allgemeinen muss die Indexmenge \(\displaystyle I\) nicht abzählbar sein.

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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