Binäre Verknüpfungen
Eine
binäre Verknüpfung (auch
zweistellige Verknüpfung genannt) ist eine
Verknüpfung, die genau zwei Operanden besitzt.
Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der
Algebra sehr häufig auf, und man spricht dort abkürzend auch von
Verknüpfung ohne den Zusatz
zweistellig. Es gibt aber auch
Verknüpfungen mit anderer Stelligkeit, die zum Beispiel drei oder mehr Operanden miteinander verknüpfen.
Definition
Eine
zweistellige Verknüpfung ist eine
Abbildung f:A×B→C vom
kartesischen Produkt zweier
Mengen A und
B nach einer dritten
Menge C. Anders gesagt, eine solche
Verknüpfung f ordnet jedem Paar von Elementen
a∈A und
b∈B ein Element
c=f(a,b) in
C zu, das Ergebnis der
Verknüpfung.
Schreibweisen
Zweistellige Verknüpfungen f schreibt man oft in Infixnotation
afb anstelle der gewöhnlichen Präfixnotation
f(a,b). Zum Beispiel schreibt man eine
Addition als
a+b anstelle von
+(a,b). Eine
Multiplikation ⋅ wird oft ganz ohne Symbol geschrieben, also
ab=a⋅b=⋅(a,b).
Beispiele
- Die Grundrechenarten (Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division) auf entsprechenden Mengen von Zahlen sind zweistellige Verknüpfungen. Zum Beispiel entsteht durch die Division einer ganzen Zahl a∈Z durch eine natürliche Zahl b∈N∗=N∖{0} eine rationale Zahl c=a/b. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung /:Z×N∗→Q.
- Die Komposition von Abbildungen ist eine zweistellige Verknüpfung: sie ordnet jeder Abbildung f:X→Y und jeder Abbildung g:Y→Z ihre Hintereinanderausführung g∘f:X→Z zu. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung ∘:Abb(Y,Z)×Abb(X,Y)→Abb(X,Z). Hierbei können die Mengen X,Y und Z beliebig gewählt werden.
Innere zweistellige Verknüpfung
Eine
innere zweistellige Verknüpfung oder
zweistellige (binäre) Operation auf einer
Menge A ist eine
zweistellige Verknüpfung f:A×A→A, die also jedem
geordneten Paar aus
A ein Element von
A zuordnet. Dies entspricht der obigen allgemeinen Definition im Spezialfall
A=B=C. Das zusätzliche Attribut
innere drückt aus, dass alle Operanden aus der
Menge A sind und die
Verknüpfung nicht aus
A hinausführt. Man sagt dazu auch,
A ist
abgeschlossen bezüglich
f.
Binäre Operationen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten
Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei
Halbgruppen, Monoiden,
Gruppen,
Ringen und anderen Strukturen.
Ganz allgemein nennt man eine
Menge A mit einer beliebigen inneren
Verknüpfung ∗:A×A→A auch Magma. Oft haben solche
Verknüpfungen noch weitere Eigenschaften, zum Beispiel sind sie assoziativ oder kommutativ. Viele haben auch ein
neutrales Element und invertierbare Elemente.
Beispiele
- Die Addition und die Multiplikation ganzer Zahlen sind innere Verknüpfungen +:Z×Z→Z bzw. ⋅:Z×Z→Z. Dasselbe gilt für die natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen.
- Die Subtraktion ganzer Zahlen ist eine innere Verknüpfung −:Z×Z→Z. Dasselbe gilt für die rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Man beachte jedoch, dass die Subtraktion natürlicher Zahlen −:N×N→Z aus der Menge der natürlichen Zahlen hinausführt und demnach keine innere Verknüpfung ist. (Hier ist z.B. 1−2=−1∈/N).
- Die Division rationaler Zahlen ohne 0 ist eine innere Verknüpfung /:Q∗×Q∗→Q∗. Gleiches gilt für die reellen und komplexen Zahlen jeweils ohne 0. Man beachte jedoch, dass die Division ganzer Zahlen /:Z×Z∗→Q aus der Menge der ganzen Zahlen hinausführt und demnach keine innere Verknüpfung ist. (Hier ist z.B. 1/2∈/Z).
- Für eine gegebene Menge M sind die Durchschnittsbildung X∩Y und die Vereinigung X∪Y von Teilmengen X,Y⊂M innere Verknüpfungen auf der Potenzmenge P(M).
- Für jede Menge X ist die Komposition g∘f von Abbildungen f,g:X→X eine innere Verknüpfung auf Abb(X,X).
Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.
Andre Weil
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