Binäre Verknüpfungen

Eine binäre Verknüpfung (auch zweistellige Verknüpfung genannt) ist eine Verknüpfung, die genau zwei Operanden besitzt. Zweistellige Verknüpfungen treten insbesondere in der Algebra sehr häufig auf, und man spricht dort abkürzend auch von Verknüpfung ohne den Zusatz zweistellig. Es gibt aber auch Verknüpfungen mit anderer Stelligkeit, die zum Beispiel drei oder mehr Operanden miteinander verknüpfen.
 
 

Definition

Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung \(\displaystyle f\colon A \times B \to C\) vom kartesischen Produkt zweier Mengen \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) nach einer dritten Menge \(\displaystyle C\). Anders gesagt, eine solche Verknüpfung \(\displaystyle f\) ordnet jedem Paar von Elementen \(\displaystyle a \in A\) und \(\displaystyle b \in B\) ein Element \(\displaystyle c=f(a,b)\) in \(\displaystyle C\) zu, das Ergebnis der Verknüpfung.

Schreibweisen

Zweistellige Verknüpfungen \(\displaystyle f\) schreibt man oft in Infixnotation \(\displaystyle a\,f\,b\) anstelle der gewöhnlichen Präfixnotation \(\displaystyle f(a,b)\). Zum Beispiel schreibt man eine Addition als \(\displaystyle a+b\) anstelle von \(\displaystyle {+}(a,b)\). Eine Multiplikation \(\displaystyle \cdot\) wird oft ganz ohne Symbol geschrieben, also \(\displaystyle a b = a \cdot b = \cdot(a, b)\).

Beispiele

  • Die Grundrechenarten (Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division) auf entsprechenden Mengen von Zahlen sind zweistellige Verknüpfungen. Zum Beispiel entsteht durch die Division einer ganzen Zahl \(\displaystyle a \in \Z\) durch eine natürliche Zahl \(\displaystyle b \in \N^* = \N\setminus\{0\}\) eine rationale Zahl \(\displaystyle c = a/b\). Dies entspricht demnach einer Verknüpfung \(\displaystyle / \colon \Z \times \N^* \to \Q\).
  • Die Komposition von Abbildungen ist eine zweistellige Verknüpfung: sie ordnet jeder Abbildung \(\displaystyle f\colon X \to Y\) und jeder Abbildung \(\displaystyle g\colon Y \to Z\) ihre Hintereinanderausführung \(\displaystyle g \circ f\colon X \to Z\) zu. Dies entspricht demnach einer Verknüpfung \(\displaystyle \circ \colon \mathrm{Abb}(Y,Z) \times \mathrm{Abb}(X,Y) \to \mathrm{Abb}(X,Z)\). Hierbei können die Mengen \(\displaystyle X,\, Y\) und \(\displaystyle Z\) beliebig gewählt werden.

Innere zweistellige Verknüpfung

Eine innere zweistellige Verknüpfung oder zweistellige (binäre) Operation auf einer Menge \(\displaystyle A\) ist eine zweistellige Verknüpfung \(\displaystyle f \colon A \times A \to A\), die also jedem geordneten Paar aus \(\displaystyle A\) ein Element von \(\displaystyle A\) zuordnet. Dies entspricht der obigen allgemeinen Definition im Spezialfall \(\displaystyle A=B=C\). Das zusätzliche Attribut innere drückt aus, dass alle Operanden aus der Menge \(\displaystyle A\) sind und die Verknüpfung nicht aus \(\displaystyle A\) hinausführt. Man sagt dazu auch, \(\displaystyle A\) ist abgeschlossen bezüglich \(\displaystyle f\).
Binäre Operationen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Halbgruppen, Monoiden, Gruppen, Ringen und anderen Strukturen.
Ganz allgemein nennt man eine Menge \(\displaystyle A\) mit einer beliebigen inneren Verknüpfung \(\displaystyle * \colon A \times A \to A\) auch Magma. Oft haben solche Verknüpfungen noch weitere Eigenschaften, zum Beispiel sind sie assoziativ oder kommutativ. Viele haben auch ein neutrales Element und invertierbare Elemente.

Beispiele

Religion und Mathematik sind nur verschiedene Ausdrucksformen derselben göttlichen Exaktheit.

Kardinal Michael Faulhaber

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