Idempotenz

Idempotenz bezeichnet die Unveränderbarkeit des Ergebnisses bei einer mehrfachen Verknüpfung oder Funktionsanwendung.
Der Betrag einer reellen Zahl ist ein typisches Beispiel für eine idempotente Funktion. Es macht z.B. keinen Unterschied, ob man den Betrag der Zahl xx nur einmal bildet oder die Betragsfunktion mehrfach anwendet. Es gilt ∣∣x∣∣=∣x∣||x||=|x|.

Definition

Idempotente Elemente

Sei n∈N n \in \N und ν ⁣:Mn→M\ny\colon M^n \rightarrow M eine nn-stellige Verknüpfung auf der Menge MM a∈Ma\in M heißt idempotent bezüglich ν\ny, wenn ν(a,…,a)=a\ny(a,\dots,a)=a gilt.
 
 

Idempotente Funktionen

Die Definition der idempotenten Funktionen können wir auf die Definition der idempotenten Elemente zurückführen. Wir betrachten dazu die Hintereinanderausführung von Funktionen ∘\circ als zweistellige Verknüpfung in der Potenzmenge. Damit heißt eine Funktion f ⁣:M→Mf\colon M \rightarrow M idempotent, wenn sie bezüglich ∘\circ idempotent ist:
f∘f=ff\circ f = f,
also für alle x∈Mx \in M
f(f(x))=f∘f(x)=f(x)f(f(x)) = f\circ f(x) = f(x)
gilt.

Beispiele

Neutrale Elemente

Wegen 0+0=00+0=0 und 0⋅0=00\cdot 0=0 ist 00 sowohl bezüglich der Addition als auch bezüglich der Multiplikation idempotent. Analog ist wegen 1⋅1=11 \cdot 1 = 1 die Eins bezüglich der Multiplikation idempotent, aber nicht bezüglich der Addition (1+1=21+ 1=2). Dies gilt auch allgemein in Ringen und Körpern.

Funktionen

Sowohl die konstante Funktionen f ⁣: x↦c f\colon\, x \mapsto c\, als auch die identische Funktion: id⁡ ⁣: x↦x\id\colon\, x \mapsto x.
Die oben erwähnte Betragsfunktion ∣⋅∣ ⁣: x↦∣x∣|\cdot|\colon\, x \mapsto |x| sei hier nochmals aufgeführt, wobei zur erwähnen ist, dass hierunter auch der Betrag komplexer Zahlen oder die Norm in normierten Vektorräumen fällt.

Weitere mathematische Strukturen

Alle Hüllenoperatoren wie z.B die abgeschlossene Hülle in metrischen Räumen sind idempotent. Gleiches gilt für offene Kerne.

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

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