Absolutbetrag komplexer Zahlen

Der Absolutbetrag oder einfach Betrag einer komplexen Zahl \(\displaystyle z=x+\i y\), geschrieben \(\displaystyle |z|\) ist die folgende nichtnegative reelle Zahl:
\(\displaystyle |z|=\sqrt{z\cdot \overline {z}}=\sqrt{x^2+y^2}\)
Mit dem Absolutbetrag erhalten wir auch eine einfache Formel für \(\displaystyle \dfrac 1 z\):
\(\displaystyle \dfrac 1 z=\dfrac {\overline z}{|z|^2}\) bzw. \(\displaystyle \dfrac w z=\dfrac {w\overline z}{|z|^2}\)
 
 

Satz 5228E (Eigenschaften des Absolutbetrags)

Seien \(\displaystyle z=x+\i y\), \(\displaystyle z_1=x_1+\i y_1\) und \(\displaystyle z_2=x_2+\i y_2\) komplexe Zahlen, dann gilt:
  1. \(\displaystyle |z|>0\) für alle \(\displaystyle z\neq0\)
  2. \(\displaystyle |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\)
  3. \(\displaystyle \max(|\Re(z)|,|\Im(z)|)\leq \, |z|\, \leq |\Re(z)|+|\Im(z)|\)
  4. \(\displaystyle |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|\) (Dreiecksungleichung)
Der Absolutbetrag ist damit eine Norm in den komplexen Zahlen. Diese kann man also als normierten Vektorraum und natürlich als metrischen Raum auffassen.

Beweis

Vorbemerkung: Da wir es bei Beträgen mit nichtnegativen reellen Zahlen zu tun haben, bleiben Ungleichungsrelationen beim Wurzelziehen erhalten. Wir werden darauf im Beweis nicht explizit hinweisen.
i. \(\displaystyle |z|=\sqrt{x^2+y^2}\). Wenn \(\displaystyle z\neq 0\) ist \(\displaystyle x\) oder \(\displaystyle y\) verschieden von \(\displaystyle 0\), womit die rechte Seite verschieden von \(\displaystyle 0\) ist.
ii. Unter Benutzung von Satz 5228C erhalten wir \(\displaystyle |z_1\cdot z_2|=\sqrt{(z_1\cdot z_2)\overline{(z_1\cdot z_2)}}\) \(\displaystyle =\sqrt{(z_1\cdot\overline{z_1})(z_2\cdot\overline{z_2})}=|z_1|\cdot |z_2|\)
iii. \(\displaystyle |z|^2=|x+\i y|^2\) \(\displaystyle =|x|^2+|y|^2\geq \max(|x|,|y|)^2=\max(|\Re(z)|,|\Im(z)|)\).
\(\displaystyle |z|^2=|x+\i y|^2\) \(\displaystyle =|x|^2+|y|^2\) \(\displaystyle \leq|x|^2+|y|^2+2|x||y|\) \(\displaystyle =(|x|+|y|)^2=(|\Re(z)|+|\Im(z)|)^2\).
iv. Zuerst eine kleine Vorüberlegung:
\(\displaystyle |z_1\overlineI{z_2}+z_2\overlineI{z_1}|=|z_1\overlineI{z_2}+\overline{z_1\overlineI{z_2}}|\) (Satz 5228C)
\(\displaystyle =2|\Re(z_1\overlineI{z_2})|\) (Satz 5228D)
\(\displaystyle \leq 2 |z_1\overlineI{z_2}|=2|z_1||z_2|\) (Satz 5228C sowie (iii) und \(\displaystyle |z|=|\overlineI{z}|\)). Also:
(1)
\(\displaystyle |z_1\overlineI{z_2}+z_2\overlineI{z_1}|\leq 2|z_1||z_2|\).
Und jetzt der eigentliche Beweis:
\(\displaystyle |z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)(\overlineI{z_1+z_2})\)
\(\displaystyle =(z_1+z_2)(\overlineI{z_1}+\overlineI{z_2})\) (Satz 5228C)
\(\displaystyle =|z_1\overlineI{z_1}+z_2\overlineI{z_2}+z_1\overlineI{z_2}+z_2\overlineI{z_1}|\) (ist als nichtnegative reelle Zahl ihrem Betrag gleich)
\(\displaystyle =\ntxbraceI{ |z_1|^2+|z_2|^2+z_1\overlineI{z_2}+z_2\overlineI{z_1}}\)
\(\displaystyle \leq |z_1|^2+|z_2|^2+|z_1\overlineI{z_2}+z_2\overlineI{z_1}|\) (wegen der reellen Dreiecksungleichung)
\(\displaystyle \leq |z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1||z_2|\) (nach (1))
\(\displaystyle =(|z_1|+|z_2|)^2\) \(\displaystyle \qed\)

Bemerkung 16L3

Wir wollen jetzt untersuchen, was Betragsgleichheit für die komplexen Zahlen bedeutet. Dazu definieren wir eine Relation \(\displaystyle ~\) wie folgt:
(2)
\(\displaystyle z_1~z_2\iff |z_1|=|z_2|\),
zwei komplexe Zahlen sollen also in Relation stehen, wenn ihre Beträge gleich sind.
Man überzeugt sich schnell, dass es sich bei der Relation (2) um eine Äquivalenzrelation handelt.
Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind alle komplexen Zahlen mit einem festen Betrag. Veranschaulicht man sich diese in der Gaußschen Zahlenebene, dann handelt es sich um konzentrische Kreise um den Ursprung. Zwei komplexe Zahlen sind also unter der Relation (2) äquivalent, wenn sie auf einem Kreis mit dem gleichen Radius liegen. (Der Kreis mit dem Radius 0 ist dabei der entartete Fall. Er entspricht dem Ursprung und der Äquivalenzklasse, die nur die komplexe Zahl 0 enthält.) Damit befinden sich betragsgleiche komplexe Zahlen auf einem Kreis um den Ursprung der Zahlenebene mit dem gleichen Radius (der dem Betrag der Zahlen entspricht).

Das entscheidende Kriterium ist Schönheit; für häßliche Mathematik ist auf dieser Welt kein beständiger Platz.

Godfrey Harold Hardy

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